Gratis trin for trin instruktioner 
Hvis du har flere variabler, skal du bare fortsætte linjen, så længe det tager. For eksempel, hvis du prøvede at løse et system med seks variabler, ville din standardform se ud som Au+Bv+Cw+Dx+Ey+Fz=G. I denne artikel vil vi fokusere på systemer med kun tre variabler. At løse et større system er præcis det samme, men det tager bare mere tid og flere skridt. Bemærk, at i standardform er operationerne mellem termerne altid en tilføjelse. Hvis der er en subtraktion i din ligning, i stedet for en addition, skal du arbejde med dette senere ved at gøre din koefficient negativ. For at gøre dette nemmere at huske, kan du omskrive ligningen og tilføje operationen og gøre koefficienten negativ. For eksempel kan du omskrive ligningen 3x-2y+4z=1 som 3x+(-2y)+4z=1. 
Antag, at du har et system bestående af de tre ligninger 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 og x+y+z=7. Den øverste række af din matrix vil indeholde tallene 3, 1, -1, 9, da disse er koefficienterne og løsningen af den første ligning. Bemærk, at enhver variabel, der ikke har en koefficient, antages at have en koefficient på 1. Den anden række af matricen bliver 2, -2, 1, -3 og den tredje række 1, 1, 1, 7. Sørg for at justere x-koefficienterne i den første kolonne, y-koefficienterne i den anden, z-koefficienterne i den tredje og løsningsleddene i den fjerde. Når du er færdig med at arbejde med matricen, vil disse kolonner være vigtige, når du skal skrive din løsning. 
Du kan angive enhver specifik position i en matrix ved at bruge en kombination af R og C. For eksempel, for at betegne et led i anden række, tredje kolonne, kan du kalde det R2C3. 
Det er almindeligt at bruge brøker i skalar multiplikation, fordi man ofte ønsker at få en diagonal række af 1`ere. Væn dig til at arbejde med brøker. Det vil også være nemmere (for de fleste trin i løsning af matricen) at være i stand til at skrive dine brøker i forkert form og derefter konvertere dem tilbage til blandede tal til den endelige løsning. Derfor er tallet 1 2/3 nemmere at arbejde med, hvis du skriver det som 5/3. For eksempel starter den første række (R1) i vores eksempelopgave med termerne [3.1,-1,9]. Opløsningsmatrixen skal indeholde et 1 i den første position i den første række. For at `vende` 3`eren til en 1`er kan vi gange hele rækken med 1/3. Dette skaber den nye R1 på [1.1/3,-1/3.3]. Sørg for at efterlade eventuelle negative tegn, hvor de hører hjemme. 
Du kan bruge forkortet notation og erklære denne operation som R2-R1=[0,-1,2,6]. Husk at addition og subtraktion er lige modsatte former for den samme operation. Du kan tænke på det som at tilføje to tal eller trække det modsatte fra. For eksempel, hvis du starter med den simple ligning 3-3=0, kan du tænke på dette som et additionsproblem på 3+(-3)=0. Resultatet er det samme. Dette virker simpelt, men det er nogle gange lettere at overveje et problem i en eller anden form. Bare hold øje med dine negative tegn. 
Par; at der er en række 1 af [1,1,2,6] og en række 2 af [2,3,1,1]. Du vil have et 0-led i den første kolonne i R2. Det vil sige, du vil ændre 2`eren til et 0. For at gøre dette skal du trække en 2 fra. Du kan få en 2`er ved først at gange række 1 med den skalære multiplikation 2 og derefter trække den første række fra den anden række. I forkortet form kan dette skrives som R2-2*R1. Gang først R1 med 2 for at få [2,2,4,12]. Træk derefter dette fra R2 for at få [(2-2),(3-2),(1-4),(1-12)]. Forenkle dette og din nye R2 bliver [0,1,-3,-11]. 
En almindelig fejl opstår, når du udfører et kombineret multiplikations- og additionstrin i et træk. Antag for eksempel, at du skal trække R1 fra R2 to gange. Når du multiplicerer R1 med 2 for at udføre dette trin, skal du huske, at R1 ikke ændrer sig i matrixen. Du laver kun multiplikationen for at ændre R2. Kopier først R1 i sin originale form, og foretag derefter ændringen til R2. 
1. Lav en 1 i første række, første kolonne (R1C1). 2. Lav et 0 i den anden række, første kolonne (R2C1). 3. Lav en 1 i anden række, anden kolonne (R2C2). 4. Lav et 0 i den tredje række, første kolonne (R3C1). 5. Lav et 0 i den tredje række, anden kolonne (R3C2). 6. Lav en 1 i tredje række, tredje kolonne (R3C3). 
Opret et 0 i anden række, tredje kolonne (R2C3). Opret et 0 i første række, tredje kolonne (R1C3). Opret et 0 i første række, anden kolonne (R1C2). 
Bemærk, at multiplikation og division kun er omvendte funktioner af hinanden. Vi kan sige, at vi gange med 1/3 eller dividere med 3, uden at ændre resultatet. 
Skriv række 3 (som ikke er ændret), hvis R3=[1,1,1,7]. Vær forsigtig, når du trækker negative tal fra for at sikre, at tegnene forbliver korrekte. Lad os nu først sætte brøkerne i deres ukorrekte form. Dette gør senere trin af løsningen nemmere. Du kan forenkle brøkerne i det sidste trin af opgaven. 
Bemærk, at hvis venstre halvdel af sekvensen begynder at ligne løsningen med 0 og 1, kan den højre halvdel se grim ud med uægte brøker. Bare lad dem være, hvad de er nu. Husk at fortsætte med at kopiere de upåvirkede rækker, så R1=[1,1/3,-1/3,3] og R3=[1,1,1,7]. 
Fortsæt med at kopiere langs R1=[1.1/3,-1/3.3] og R2=[0.1,-5/8.27/8]. Husk at du kun skifter en række ad gangen. 
Bemærk, at de fraktioner, der virkede ret komplicerede i det foregående trin, allerede begynder at løse sig. Fortsæt med R1=[1.1/3,-1/3.3] og R2=[0.1,-5/8.27/8]. Bemærk, at du på dette tidspunkt har diagonalen på 1`er for din løsningsmatrix. Du behøver kun at konvertere tre elementer i matrixen til 0`er for at finde din løsning. 
Tag derefter R1=[1,1/3,-1/3,3] og R3=[0,0,1,1]. 
Tag den uændrede R2=[0,1,0,4] og R3=[0,0,1,1]. 
1002 0104 0011 
Da hver ligning forenkles til et sandt matematisk udsagn, er dine løsninger korrekte. Hvis nogen af løsningerne ikke er korrekte, bedes du kontrollere dit arbejde igen og se efter eventuelle fejl. Nogle almindelige fejl opstår, når man slipper af med minustegn undervejs, eller når man forveksler multiplikation og addition af brøker. 
Løs matricer
Indhold
En matrix er en meget nyttig måde at repræsentere tal i et blokformat, som du derefter kan bruge til at løse et system af lineære ligninger. Hvis du kun har to variable, vil du sandsynligvis bruge en anden metode. Læs om dette i Løsning af et ligningssystem for eksempler på disse andre metoder. Men hvis du har tre eller flere variable, er en matrix ideel. Ved at bruge gentagne kombinationer af multiplikation og addition kan man systematisk nå frem til en løsning.
Trin
Del 1 af 4: Opstilling af matrix
1. Bekræft, at du har nok data. For at få en unik løsning for hver variabel i et lineært system ved hjælp af en matrix, skal du have lige så mange ligninger som antallet af variabler, du forsøger at løse. For eksempel: med variablerne x, y og z har du brug for tre ligninger. Hvis du har fire variable, skal du bruge fire ligninger.
- Hvis du har færre ligninger end antallet af variable, vil du lære nogle grænser for variablerne (såsom x = 3y og y = 2z), men du vil ikke kunne få en præcis løsning. Til denne artikel vil vi kun arbejde hen imod en unik løsning.
2. Skriv dine ligninger i standardform. Før du kan hælde data fra ligningerne ind i en matrixform, skriver du først hver ligning i standardform. Standardformen for en lineær ligning er Ax+By+Cz=D, hvor de store bogstaver er koefficienterne (tallene), og det sidste tal (i dette eksempel D) er til højre for lighedstegnet.
3. Placer tallene fra ligningssystemet i en matrix. En matrix er en gruppe af tal, arrangeret i en slags tabel, som vi vil arbejde med at løse systemet med. Det indeholder grundlæggende de samme data som ligningerne selv, men i et mere enkelt format. For at lave matricen af dine ligninger i standardform skal du blot kopiere koefficienterne og resultatet af hver ligning til en enkelt række og stable disse rækker oven på hinanden.
4. Tegn en stor firkantet parentes rundt om hele din matrix. Ved konvention er en matrix betegnet med et par firkantede parenteser, [ ], rundt om hele blokken af tal. Parenteserne påvirker ikke løsningen på nogen måde, men de indikerer, at du arbejder med matricer. En matrix kan bestå af et vilkårligt antal rækker og kolonner. I denne artikel vil vi bruge parenteser omkring en række af udtryk for at angive, at de hører sammen.
5. Brug af almindelig symbolik. Når man arbejder med matricer er det almindeligt at henvise til rækkerne med forkortelsen R og kolonnerne med forkortelsen C. Du kan bruge tal sammen med disse bogstaver til at angive en bestemt række eller kolonne. For at angive række 1 i en matrix kan du for eksempel skrive R1. Række 2 bliver så til R2.
Del 2 af 4: Læring af operationerne til løsning af et system med en matrix
1. Forståelse af løsningsmatrixens form. Før du begynder at løse dit ligningssystem, skal du forstå, hvad du skal med matricen. På dette tidspunkt har du en matrix, der ser sådan ud:
- 31-19
- 2-21-3
- 1117
- Du arbejder med en række grundlæggende operationer for at skabe `løsningsmatrixen`. Løsningsmatricen vil se sådan ud:
- 100x
- 010 år
- 001z
- Bemærk, at matricen består af 1`ere i en diagonal linje med 0`er i alle andre rum undtagen den fjerde kolonne. Tallene i fjerde kolonne er løsningerne for variablerne x, y og z.
2. Brug skalar multiplikation. Det første værktøj til din rådighed til at løse et system ved hjælp af en matrix er skalar multiplikation. Dette er simpelthen et udtryk, der betyder, at du multiplicerer elementerne i en række af matricen med et konstant tal (ikke en variabel). Når du bruger skalar multiplikation, skal du huske, at du skal gange hvert led i hele sekvensen med det tal, du vælger. Hvis du glemmer det første led og bare formerer dig, får du en forkert løsning. Du behøver dog ikke at gange hele matrixen på samme tid. Med skalar multiplikation arbejder du kun på én række ad gangen.
3. Brug rækkeaddition eller rækkesubtraktion. Det andet værktøj, du kan bruge, er at tilføje eller trække to rækker af matrixen fra. For at oprette 0-leddene i din løsningsmatrix skal du tilføje eller trække tal fra for at komme til 0. For eksempel, hvis R1 i en matrix er [1,4,3,2] og R2 er [1,3,5,8], så kan du trække den første række fra den anden række og oprette en ny række [ 0,-1, 2,6], fordi 1-1=0 (første kolonne), 3-4=-1 (anden kolonne), 5-3=2 (tredje kolonne) og 8-2=6 (fjerde kolonne) kolonne). Når du udfører en række addition eller subtraktion, skal du omskrive dit nye resultat i stedet for den række du startede med. I dette tilfælde ville vi tage række 2 ud og indsætte den nye række [0,-1,2,6].
4. Kombiner rækkeaddition og skalar multiplikation i et enkelt trin. Du kan ikke forvente, at termerne altid matcher, så du kan bruge en simpel tilføjelse eller subtraktion til at skabe 0`er i din matrix. Oftere bliver du nødt til at tilføje (eller trække fra) et multiplum af en anden række. For at gøre dette skal du først udføre den skalære multiplikation og derefter tilføje det resultat til den målrække, du prøver at ændre.
5. Kopier rækker, der forbliver uændrede, mens du arbejder. Mens du arbejder på matricen, vil du ændre en enkelt række ad gangen, enten ved skalar multiplikation, rækkeaddition eller rækkesubtraktion eller ved en kombination af trin. Når du ændrer en række, skal du sørge for at kopiere de andre rækker i din matrix i deres oprindelige form.
6. Arbejd fra top til bund først. For at løse systemet arbejder du i et meget organiseret mønster, der i det væsentlige "løser" et led i matrixen ad gangen. Rækkefølgen for et array med tre variable vil se sådan ud:
7. Arbejd tilbage fra bund til top. På dette tidspunkt, hvis du har udført trinene rigtigt, er du halvvejs gennem løsningen. Du skal have den diagonale linje af 1`ere, med 0`er under den. Tallene i den fjerde kolonne er ligegyldige på dette tidspunkt. Nu arbejder du tilbage som følger:
8. Tjek, om du har oprettet løsningsmatrixen. Hvis dit arbejde er korrekt, har du oprettet løsningsmatrixen med 1`er i en diagonal linje af R1C1, R2C2, R3C3 og 0`er i de andre positioner i de første tre kolonner. Tallene i fjerde kolonne er løsningerne til dit lineære system.
Del 3 af 4: Sammensætning af trinene for at løse systemet
1. Start med et eksempelsystem af lineære ligninger. For at øve disse trin, lad os starte med det system, vi brugte tidligere: 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 og x+y+z=7. Hvis du skriver dette i en matrix, har du R1= [3.1,-1,9], R2=[2,-2,1,-3] og R3=[1,1,1,7].
2. Opret en 1 i den første position R1C1. Bemærk, at R1 i øjeblikket starter med en 3. Du skal ændre den til en 1. Du kan gøre dette ved skalar multiplikation, ved at gange alle fire led i R1 med 1/3. I stenografi kan du skrive som R1*1/3. Dette giver et nyt resultat for R1, hvis R1=[1,1/3,-1/3,3]. Adopter R2 og R2, uændret, hvis R2=[2,-2,1,-3] og R3=[1,1,1,7].
3. Opret et 0 i den anden række, første kolonne (R2C1). På dette tidspunkt er R2=[2,-2,1,-3]. For at komme tættere på løsningsmatrixen skal du ændre det første led fra 2 til 0. Du kan gøre dette ved at trække to gange værdien fra R1, da R1 starter med en 1. I stenografi er operationen R2-2*R1. Husk at du ikke ændrer R1, bare arbejde med det. Så kopier først R1 hvis R1=[1,1/3,-1/3,3]. Hvis du så fordobler hvert led af R1, får du 2*R1=[2,2/3,-2/3,6]. Til sidst skal du trække dette resultat fra den originale R2 for at få din nye R2. Arbejdsled for led bliver denne subtraktion (2-2), (-2-2/3), (1-(-2/3), (-3-6). Vi forenkler dette til den nye R2=[0,-8/3,5/3,-9]. Bemærk, at det første led er 0 (uanset hvad dit mål var).
4. Opret en 1 i anden række, anden kolonne (R2C2). For at blive ved med at danne den diagonale linje af 1`ere, skal du konvertere det andet led -8/3 til 1. Gør dette ved at gange hele rækken med det reciproke tal (-3/8). Symbolsk er dette trin R2*(-3/8). Den resulterende anden række er R2=[0.1,-5/8.27/8].
5. Opret et 0 i den tredje række, første kolonne (R3C1). Dit fokus flyttes nu til den tredje række, R3=[1,1,1,7]. For at lave et 0 i den første position, skal du trække et 1 fra 1’eren i den position. Hvis du slår op, er der en 1 i den første position af R1. Så du skal bare trække R1 fra R3 for at få det ønskede resultat. Arbejdsperiode for semester bliver dette til (1-1), (1-1/3), (1-(-1/3)), (7-3). Disse fire mini-problemer kan derefter forenkles til den nye R3=[0.2/3.4/3.4].
6. Lav et 0 i den tredje række, anden kolonne (R3C2). Denne værdi er i øjeblikket 2/3, men skal konverteres til en 0. Ved første øjekast ser det ud til, at du kan foretage dobbeltsubtraktion af R1-værdierne, da den tilsvarende kolonne i R1 indeholder en 1/3. Men hvis du fordobler og trækker alle værdierne af R1, ændres 0`eren i den første kolonne af R3, hvilket du ikke ønsker. Dette ville være et skridt tilbage i din løsning. Så du skal arbejde med en eller anden kombination af R2. Hvis du trækker 2/3 fra R2, opretter du et 0 i den anden kolonne, uden at ændre den første kolonne. I forkortet form er dette R3- 2/3*R2. De individuelle vilkår bliver (0-0), (2/3-2/3), (4/3-(-5/3*2/3)), (4-27/8*2/3). Forenkling giver så R3=[0,0,42/24,42/24].
7. Opret en 1 i tredje række, tredje kolonne (R3C3). Dette er en simpel multiplikation med det reciproke tal, der står. Den aktuelle værdi er 42/24, så du kan gange med 24/42 for at få den ønskede værdi på 1. Bemærk, at de to første led begge er 0, så enhver multiplikation forbliver 0. Den nye værdi af R3=[0,0,1,1].
8. Opret et 0 i anden række, tredje kolonne. R2 er i øjeblikket [0.1,-5/8.27/8], med en værdi på -5/8 i den tredje kolonne. Du skal transformere det til et 0. Det betyder, at du skal udføre en eller anden operation med R3, som består i at tilføje 5/8. Da den tilsvarende tredje kolonne i R3 er en 1, skal du gange alle værdierne af R3 med 5/8 og tilføje resultatet til R2. Kort sagt er dette R2+5/8*R3. Term for term dette er R2=(0+0), (1+0), (-5/8+5/8), (27/8+5/8). Dette kan forenkles til R2=[0,1,0,4].
9. Opret et 0 i første række, tredje kolonne (R1C3). Den første række er i øjeblikket R1=[1.1/3,-1/3.3]. Du skal konvertere -1/3 i den tredje kolonne til en 0 ved at bruge en kombination af R3. Du ønsker ikke at bruge R2, fordi 1`eren i anden kolonne af R2 ville ændre R1 på den forkerte måde. Så du multiplicerer R3*1/3 og lægger resultatet til R1. Notationen for dette er R1+1/3*R3. Udregning af det termin for termin resulterer i R1=(1+0), (1/3+0), (-1/3+1/3), (3+1/3). Du kan forenkle dette til en ny R1=[1,1/3,0,10/3].
10. Lav et 0 i første række, anden kolonne (R1C2). Hvis alt er gjort rigtigt, bør dette være det sidste skridt. Du skal konvertere 1/3 i den anden kolonne til en 0. Du kan få dette ved at gange og trække R2*1/3 fra. Kort sagt er dette R1-1/3*R2. Resultatet er R1=(1-0), (1/3-1/3), (0-0), (10/3-4/3). Forenkling giver så R1=[1,0,0,2].
11. Søg efter løsningsmatrixen. På dette tidspunkt, hvis alt gik godt, ville du have de tre rækker R1=[1,0,0,2], R2=[0,1,0,4] og R3=[0,0,1,1] skal have. Bemærk, at hvis du skriver dette i blokmatrixform med rækkerne oven på hinanden, har du diagonale 1`ere med 0`er længere fremme, og dine løsninger er i fjerde kolonne. Løsningsmatricen skal se sådan ud:
12. Forstå din løsning. Når du har konverteret de lineære ligninger til en matrix, skal du sætte x-koefficienterne i første kolonne, y-koefficienterne i anden kolonne, z-koefficienterne i tredje kolonne. Hvis du nu vil omskrive matricen til ligninger, betyder disse tre linjer i matricen faktisk de tre ligninger 1x+0y+0z=2, 0x+1y+0z=4 og 0x+0y+1z=1. Da vi kan krydse 0 led ud og ikke skal skrive 1-koefficienterne, forenkler disse tre ligninger til løsningen, x=2, y=4 og z=1. Dette er løsningen på dit lineære ligningssystem.
Del 4 af 4: Tjek din løsning
1. Bearbejd løsningerne i hver variabel i hver ligning. Det er altid en god idé at tjekke, om din løsning faktisk er korrekt. Det gør du ved at teste dine resultater i de originale ligninger.
- De oprindelige ligninger for dette problem var: 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 og x+y+z=7. Når du erstatter variablerne med deres værdier, du har fundet, får du 3*2+4-1=9, 2*2-2*4+1=-3 og 2+4+1=7.
2. Forenkle enhver ligning. Udfør operationerne i hver ligning i henhold til de grundlæggende regler for operationer. Den første ligning forenkles til 6+4-1=9 eller 9=9. Den anden ligning kan forenkles til 4-8+1=-3 eller -3=-3. Den sidste ligning er simpelthen 7=7.
3. Skriv dine endelige løsninger. For dette givne problem er den endelige løsning x=2, y=4 og z=1.
Tips
- Hvis dit ligningssystem er meget komplekst med mange variabler, vil du måske bruge en grafregner i stedet for at udføre arbejdet i hånden. For information om dette kan du også konsultere wikiHow.
Artikler om emnet "Løs matricer"
Оцените, пожалуйста статью
Populær
