Sådan løses ligningssystemer ved hjælp af to variabler

Indhold

Trin
Tips
Advarsler

I et `ligningssystem` bliver du bedt om at løse to eller flere ligninger på samme tid. Når disse to indeholder forskellige variable, såsom x og y, eller a og b, kan det ved første øjekast være svært at se, hvordan man løser dem. Heldigvis, når du først ved, hvad du skal gøre, behøver du kun nogle grundlæggende matematiske færdigheder (og nogle gange noget viden om brøker) for at løse problemet. Hvis det er påkrævet, eller hvis du er en visuel elev, skal du også lære at tegne ligningerne. At tegne (plotte) en graf kan være nyttigt for at `se, hvad der foregår`, eller for at kontrollere dit arbejde, men det kan også være langsommere end de andre metoder og vil ikke fungere med alle ligningssystemer.

Trin

Metode 1 af 3: Brug af substitutionsmetoden

1. Flyt variablerne til forskellige sider af ligningen. Denne `substitution`-metode starter med at `løse for x` (eller enhver anden variabel) i en af ligningerne. For eksempel har vi følgende ligninger: 4x + 2y = 8 og 5x + 3x = 9. Lad os først se på den første ligning. Omarranger ved at trække 2y fra hver side, og du får: 4x = 8 - 2 år.

Denne metode bruger ofte fraktioner på et senere tidspunkt. Du kan også bruge elimineringsmetoden nedenfor, hvis du foretrækker ikke at arbejde med brøker.

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 2

2. Divider begge sider af ligningen for at `løse for x`. Når du har udtrykket x (eller hvilken variabel du bruger) på den ene side af ligningen, skal du dividere begge sider af ligningen for at isolere variablen. For eksempel:

4x = 8 - 2 år

(4x)/4 = (8/4) - (2y/4)

x = 2 - y

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 3

3. Sæt dette tilbage i den anden ligning. Sørg for at vende tilbage til Andre sammenligning, ikke den du allerede har brugt. I den ligning erstatter du den variabel, du har løst, så der kun er én variabel tilbage. For eksempel:

Du ved nu at: x = 2 - y.

Den anden ligning, som du ikke har ændret endnu, er: 5x + 3x = 9.

I den anden ligning skal du erstatte x med `2 - ½y`: 5(2 - ½ år) + 3 år = 9.

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 4

4. Løs for den resterende variabel. Du har nu en ligning med kun én variabel. Brug almindelige algebrateknikker til at løse denne variabel. Hvis variablerne annullerer hinanden, fortsæt til sidste trin. Ellers ender du med et svar på en af dine variabler:

5(2 - ½ år) + 3 år = 9

10 – (5/2)y + 3y = 9

10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Hvis du ikke forstår dette trin, så lær hvordan man tilføjer brøker. Dette er ofte, men ikke altid, nødvendigt med denne metode).

10 + y = 9

y = -1

y = -2

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 5

5. Brug svaret til at løse den anden variabel. Begå ikke den fejl at afslutte problemet halvvejs. Du skal genindtaste det svar, du fik, i en af de originale ligninger, så du kan løse den anden variabel:

Du ved nu at: y = -2

En af de oprindelige ligninger er: 4x + 2y = 8. (Begge ligninger kan bruges til dette trin).

Tilslut -2 i stedet for y: 4x + 2(-2) = 8.

4x - 4 = 8

4x = 12

x = 3

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 6

6. Ved, hvad du skal gøre, når begge variabler ophæver hinanden. Når du x = 3y + 2 eller får et lignende svar i den anden ligning, så prøver du at få en ligning med kun én variabel. Nogle gange ender man i stedet for en ligning uden variabler. Dobbelttjek dit arbejde, og sørg for at erstatte den (omarrangerede) første ligning med den anden ligning, ikke den første ligning. Når du er sikker på, at du ikke har lavet nogen fejl, får du et af følgende resultater:

Hvis du ender med en ligning uden variable, og som ikke er sand (f.eks. 3 = 5), så har problemet ingen løsning. (Hvis du har tegnet ligningerne, vil du se, at de er parallelle og aldrig skærer hinanden).

Hvis du ender med en ligning uden variabler, men dem godt er sand (f.eks. 3 = 3), så har problemet et uendeligt antal løsninger. De to ligninger er nøjagtigt ens med hinanden. (Hvis du tegner de to ligninger, vil du se, at de overlapper nøjagtigt).

Metode 2 af 3: Brug af eliminationsmetoden

1. Bestemmer den variabel, der skal elimineres. Nogle gange vil ligningerne `eliminere` hinanden i en variabel, så snart du lægger dem sammen. For eksempel når du laver ligningerne 3x + 2y = 11 og 5x - 2y = 13 kombinerer, vil `+2y` og `-2y` eliminere hinanden, med alle `ys fjernes fra ligningen. Se på ligningerne i dit problem for at finde ud af, om nogen af variablerne vil blive elimineret på denne måde. Hvis ingen af variablerne er elimineret, kan du læse videre til næste trin for at få råd.

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 7

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 8

2. Multiplicer en ligning for at eliminere en variabel. (Spring dette trin over, hvis variablerne allerede har elimineret hinanden). Hvis ingen af variablerne i ligningerne elimineres af sig selv, skal du ændre en af ligningerne, så de gør. Dette er nemmest at forstå med et eksempel:

Antag, at du har ligningssystemet 3x - y = 3 og -x + 2y = 4.

Lad os ændre den første ligning, så variablen y er ved at blive elimineret. (Du kan også gøre dette til x gør og få det samme svar).

Det - y` af den første ligning skal elimineres med+ 2 år ` i den anden ligning. Vi kan gøre dette ved - y at gange med 2.

Vi multiplicerer begge sider af den første ligning med 2, som følger: 2(3x - y)=2(3), og dermed 6x - 2y = 6. Nu vil - 2 år falde væk mod +2 år i den anden ligning.

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 9

3. Kombiner de to ligninger. For at kombinere to ligninger skal du lægge venstre og højre side sammen. Hvis du har skrevet ligningen rigtigt, skulle den ene af variablerne udligne mod den anden. Her er et eksempel, der bruger de samme ligninger som det sidste trin:

Dine ligninger er: 6x - 2y = 6 og -x + 2y = 4.

Kombiner de venstre sider: 6x - 2y - x + 2y = ?

Kombiner de rigtige sider: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 10

4. Løs for den sidste variabel. Forenkle den kombinerede ligning, og brug derefter grundlæggende algebra til at løse den sidste variabel. Hvis der ikke er nogen variable tilbage efter forenkling, skal du springe til sidste trin i dette afsnit. Ellers skulle du ende med et simpelt svar på en af dine variable. For eksempel:

Du har: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.

Gruppér variablerne x og y med hinanden: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.

Forenkle: 5x = 10

Løs for x: (5x)/5 = 10/5, så det x = 2.

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 11

5. Løs for de andre variable. Du har fundet én variabel, men du er ikke helt færdig endnu. Erstat dit svar med en af de oprindelige ligninger, så du kan løse den anden variabel. For eksempel:

Du ved det x = 2, og den af dine oprindelige ligninger 3x - y = 3 er.

Tilslut 2 i stedet for x: 3(2) - y = 3.

Løs for y i ligningen: 6 - y = 3

6 - y + y = 3 + y, så 6 = 3 + år

3 = y

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 12

6. Ved, hvad du skal gøre, hvis begge variabler annullerer hinanden. Nogle gange resulterer en kombination af to ligninger i en ligning, der ikke giver mening, eller som ikke hjælper dig med at løse problemet. Dobbelttjek dit arbejde fra starten, men hvis du ikke lavede en fejl, så skriv et af følgende svar:

Hvis din kombinerede ligning ikke har nogen variable og ikke er sand (såsom 2 = 7), så er der ingen løsning hvilket gælder for begge ligninger. (Hvis du tegner begge ligninger, vil du se, at de er parallelle og aldrig skærer hinanden).

Hvis din kombinerede ligning ikke har nogen variable og er sand (såsom 0 = 0), så er der et uendeligt antal løsninger. De to ligninger er faktisk identiske. (Hvis du sætter disse på en graf, vil du se, at de overlapper fuldstændigt).

Metode 3 af 3: Tegning af ligningerne

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 13

1. Brug kun denne metode, når den er specificeret. Medmindre du bruger en computer eller en grafregner, kan mange ligningssystemer kun løses tilnærmelsesvis ved hjælp af denne metode. Din lærer eller matematikbog kan bede dig om at bruge denne metode, så du er sikkert bekendt med grafiske ligninger som linjer. Du kan også bruge denne metode til at kontrollere, om dine svar fra en af de andre metoder er korrekte.

Den grundlæggende idé er, at du tegner begge ligninger og bestemmer det punkt, hvor de skærer hinanden. x- og y-værdierne på dette tidspunkt giver værdien af x og værdien af y i ligningssystemet.

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 14

2. Løs begge ligninger for y. Hold de to ligninger adskilt, brug algebra til at konvertere hver ligning til formen `y = __x + __`. For eksempel:

Den første ligning er: 2x + y = 5. Skift dette til: y = -2x + 5.

Den anden ligning er: -3x + 6y = 0. Skift dette til 6y = 3x + 0, og forenkle tily = ½x + 0.

Er begge ligninger identiske, så bliver hele linjen et `kryds`. Skrive: uendelige løsninger.

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 15

3. Tegn et koordinatsystem. Tegn en lodret `y-akse` og en vandret `x-akse` på et stykke millimeterpapir. Start ved det punkt, hvor linjerne skærer hinanden, og mærk tallene 1, 2, 3, 4 osv. op langs y-aksen og til højre igen langs x-aksen. Mærk tallene -1, -2 osv. ned ad y-aksen og til venstre langs x-aksen.

Hvis du ikke har millimeterpapir, skal du bruge en lineal til at sikre dig, at tallene er jævnt fordelt.

Hvis du bruger store tal eller decimaler, skal du muligvis skalere diagrammet. (For eksempel 10, 20, 30 eller 0.1, 0.2.0.3 i stedet for 1, 2, 3).

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 16

4. Tegn y-skæringspunktet for hver linje. Når du har en ligning i skemaet y = __x + __ du kan begynde at tegne grafen for det ved at tegne et punkt, hvor linjen opskærer y-aksen. Dette er altid på en y-værdi, lig med det sidste tal i denne ligning.

I de førnævnte eksempler, en linje (y = -2x + 5) i y-aksen 5. Den anden linje (y = ½x + 0) går gennem nulpunktet 0. (Dette er punkterne (0,5) og (0,0) i grafen).

Marker hver af linjerne med en anden farve, hvis det er muligt.

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger indeholdende to variable Trin 17

5. Brug hældningen til at fortsætte med at tegne linjerne. I formularen y = __x + __, er tallet for x de hældning uden for linjen. Hver gang x øges med én, vil y-værdien stige med værdien af hældningen. Brug disse oplysninger til at finde punktet på grafen for hver linje, når x = 1. (Alternativt kan du erstatte x = 1 for enhver ligning og løse for y).

I vores eksempel er reglen y = -2x + 5 en hældning af -2. Ved x = 1 falder linjen 2 nedfra punktet x = 0. Tegn linjestykket mellem (0,5) og (1,3).

Reglen y = ½x + 0har en hældning på ½. Ved x = 1 går linjen ½ op fra punktet x = 0. Tegn linjestykket mellem (0,0) og (1,½).

Hvis linjerne har samme hældning linjerne vil aldrig skære hinanden, så der er ingen løsning på ligningssystemet. Skrive: ingen løsning.

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 18

6. Fortsæt med at plotte linjerne, indtil de skærer hinanden. Stop op og se på dit diagram. Hvis linjerne allerede har krydset hinanden, fortsæt til næste trin. Ellers træffer du en beslutning baseret på, hvad linjerne gør:

Hvis linjerne bevæger sig mod hinanden, vil du fortsætte med at tegne punkter i den retning.

Hvis linjerne bevæger sig væk fra hinanden, skal du gå tilbage og tegne punkter i den anden retning, startende ved x = -1.

Hvis linjerne ikke er i nærheden af hinanden, skal du springe fremad og plotte fjernere punkter, såsom x = 10.

Billede med titlen Løs systemer af algebraiske ligninger, der indeholder to variable Trin 19

7. Find svaret i skæringspunktet mellem linjerne. Når de to linjer skærer hinanden, er x- og y-værdierne på det tidspunkt løsningen på problemet. Hvis du er heldig, vil svaret være et heltal. For eksempel i vores eksempler skærer de to linjer hinanden (2.1) så er dit svar x = 2 og y = 1. I nogle ligningssystemer vil linjerne skære hinanden ved en værdi mellem to heltal, og medmindre din graf er ekstremt nøjagtig, vil det være svært at sige, hvor det er. Hvis dette er tilfældet, kan du give et svar som: `x er mellem 1 og 2`. Du kan også bruge substitutionsmetoden eller elimineringsmetoden til at finde det nøjagtige svar.

Tips

Du kan tjekke dit arbejde ved at føre svarene tilbage i de oprindelige ligninger. Hvis ligningerne er sande (for eksempel 3 = 3), så er dit svar korrekt.
I eliminationsmetoden skal du nogle gange gange en ligning med et negativt tal for at eliminere en variabel.

Advarsler

Disse metoder kan ikke bruges, når man har at gøre med et potenstal, såsom x. For mere information om ligninger af denne type har du brug for en guide til faktorisering af kvadrater med to variable.