Deling af matricer

Hvis du forstår at gange to matricer med hinanden, så er du godt på vej til at kunne `dele` en matrix med en anden matrix. Division er i anførselstegn, fordi matricer teknisk set ikke kan opdeles. I stedet multiplicerer vi den ene matrix med omvendt fra en anden matrix. Disse beregninger bruges ofte til at løse lineære ligningssystemer.

Trin

Del 1 af 3: Forstå, at `deling` er umuligt

Billede med titlen Divide Matrices Trin 1
1. Forstå, hvad "deling" af en matrix betyder. Teknisk set er der ikke sådan noget som matrixopdeling. At dividere matricer er ikke en defineret funktion. Det tætteste på det er at gange med det inverse af en anden matrix. Med andre ord, selvom [A] ÷ [B] ikke er defineret, kan du løse problemet [A] * [B]. Da disse to ligninger svarer til skalarer, "føles" dette som en matrix division, men det er vigtigt at bruge den korrekte terminologi.
  • Bemærk, at [A] * [B] og [B] * [A] ikke er det samme problem. Du skal muligvis løse begge dele for at finde alle mulige svar.
  • For eksempel i stedet for (13263913)÷(7423){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}div {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}div {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}, skrive (13263913)*(7423)-1{displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{-1}}{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{{-1}}.
    det burde du måske også (7423)-1*(13263913){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{-1}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{{-1}}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}} beregne, hvilket måske bare giver et andet svar.
Billede med titlen Divide Matrices Trin 2
2. Tjek `divisor-matrix` firkanten er. For at kunne bestemme det omvendte af en matrix skal det være en kvadratisk matrix, altså med samme antal rækker og kolonner. Hvis den matrix, du vil finde det omvendte af, ikke er en kvadratisk matrix, så er der ingen entydig løsning på problemet.
  • Begrebet `divisor matrix` er lidt løst, for det handler egentlig ikke om et divisionsproblem. For [A] * [B] refererer dette til matrix [B]. I vores eksempel er dette (7423){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}.
  • En matrix med en invers kaldes `invertibel` eller `ikke ental.` Matricer uden inverse er `ental.`
  • Billede med titlen Divide Matrices Trin 3
    3. Tjek om de to matricer kan ganges sammen. For at gange to matricer sammen, skal antallet af kolonner i den første matrix være lig med antallet af rækker i den anden matrix. Hvis dette ikke virker i begge tilfælde ([A] * [B] eller [B] * [A]), er der ingen løsning på problemet.
  • For eksempel, hvis [A] er en 4 x 3 matrix (4 rækker, 3 kolonner) og [B] er en 2 x 2 matrix (2 rækker, 2 kolonner), så er der ingen løsning. [A] * [B] virker ikke, fordi 3 ≠ 2, og [B] * [A] virker ikke, fordi 2 ≠ 4.
  • Vid, at den omvendte [B] altid har det samme antal rækker og kolonner som den oprindelige matrix [B]. Det er ikke nødvendigt at beregne det omvendte for at fuldføre dette trin.
  • I vores eksempelopgave er begge matricer 2 x 2, så de kan ganges i vilkårlig rækkefølge.
  • Billede med titlen Divide Matrices Trin 4
    4. Bestem determinanten for en 2 x 2 matrix. Der er endnu en påkrævet kontrol, før du kan bestemme det omvendte af en matrix. Matrixens determinant kan ikke være nul. Hvis determinanten er nul, har matrixen ingen invers. Sådan bestemmes determinanten i det enkleste tilfælde (2 x 2 matrixen):
  • 2×2 matrix: matrixens determinant (-enbcd){displaystyle {begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}}{begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}} er ad - f.Kr. Med andre ord, tag produktet af hoveddiagonalen (øverst til venstre til nederst til højre), og træk derefter produktet af antidiagonalen (øverst til højre til nederst til venstre) derfra.
  • For eksempel matrixen (7423){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}} har determinanten (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Dette er ikke nul, så det er muligt at bestemme det omvendte.
  • Billede med titlen Divide Matrices Trin 5
    5. Bestem determinanten for en større matrix. Hvis din matrix er 3 x 3 eller større, kræves der noget mere arbejde for at bestemme determinanten:
  • 3 x 3 matrix: Vælg et element og kryds den række og kolonne, det tilhører. Bestem determinanten for den resterende 2 x 2 matrix, gang med det valgte element, og behold en matrixtegntabel til at bestemme fortegnet. Gentag for de to andre elementer i samme række og kolonne som den første, du valgte, og læg derefter alle tre determinanter sammen. Læs denne artikel for trin-for-trin instruktioner og tips til at gøre dette hurtigere.
  • Større matricer: Brug af en grafregner eller software anbefales her. Metoden ligner den for en 3 x 3 matrix, men tager meget tid, hvis du gør dette i hånden. For at finde determinanten for en 4 x 4 matrix, skal du først finde determinanterne for fire 3 x 3 matricer.
  • Billede med titlen Divide Matrices Trin 6
    6. Blive ved. Hvis din matrix ikke er et kvadrat, eller hvis dens determinant er nul, så skriv det som `ingen entydig løsning`. Problemet er løst. Hvis matricen er et kvadrat, og dens determinant ikke er nul, skal du springe til næste del for det næste trin: at finde den inverse.

    Del 2 af 3: Invertering af matrixen

    Billede med titlen Divide Matrices Trin 7
    1. Skift positionerne af elementerne i 2 x 2 hoveddiagonalen. Hvis du har at gøre med en 2 x 2 matrix, kan du bruge en genvej til at gøre denne beregning meget lettere. Det første trin i denne hurtige løsning involverer at bytte elementet øverst til venstre med elementet nederst til højre. For eksempel:
    • (7423){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}(3427){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix}}
    • Bemærkning: De fleste mennesker bruger en lommeregner til at bestemme det omvendte af en 3 x 3 matrix (eller større). Hvis du stadig ønsker at beregne dette i hånden, så se i slutningen af ​​denne del.
    Billede med titlen Divide Matrices Trin 8
    2. Tag det modsatte af de to andre elementer, men lad dem være i den position. Med andre ord, gange toppen dommer og bund venstre-elementer med-1:
  • (3427){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix}}(3-4-27){displaystyle {begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}
  • Billede med titlen Divide Matrices Trin 9
    3. Tag den gensidige af determinanten. Du har fundet determinanten for denne matrix i afsnittet ovenfor, så der er ingen grund til at beregne den igen. Bare skriv den reciproke af 1/(determinant):
  • I vores eksempel er determinanten 13. Det gensidige af dette er 113{displaystyle {frac {1}{13}}}{frac{1}{13}}.
  • Billede med titlen Divide Matrices Trin 10
    4. Multiplicer den nye matrix med den reciproke af determinanten. Multiplicer hvert element i den nye matrix med det gensidige, du lige har fundet. Den resulterende matrix er den omvendte af 2 x 2 matrixen:
  • 113*(3-4-27){displaystyle {frac {1}{13}}*{begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}}{frac{1}{13}}*{begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}
    =(313-413-213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}}
  • Billede med titlen Divide Matrices Trin 11
    5. Bekræft, at det omvendte er korrekt. For at kontrollere dit arbejde skal du gange det inverse med den oprindelige matrix. Hvis det omvendte er korrekt, så er deres produkt altid matrixens identitet, (1001){displaystyle {begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}} Hvis det er matematisk korrekt, fortsæt til næste afsnit for at fuldføre problemformuleringen.
  • Til formålet med eksempelproblemet multiplicerer vi (313-413-213713)*(7423)=(1001){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix }}.
  • Se wikihow for mere information om multiplikation af matricer.
  • Bemærk: Matrixmultiplikation er ikke kommutativ: rækkefølgen af ​​faktorerne har betydning. Når man multiplicerer en matrix med dens inverse, vil begge resultere i identitetsmatrixen.
  • Billede med titlen Divide Matrices Trin 12
    6.Bestem matrixinversionen af ​​en 3 x 3 matrix eller større. Medmindre du er ny i denne proces, kan du spare dig selv for en masse tid ved at bruge en grafregner eller matematiksoftware på større matricer. Hvis du har brug for at beregne det i hånden, er her en hurtig oversigt over en metode, du kan bruge:
  • Tilføj identitetsmatrix I til højre side af din matrix. For eksempel [B] → [B | jeg]. Identitetsmatrixen har `1`-elementer langs hoveddiagonalen og `0`-elementer i alle andre positioner.
  • Udfør rækkeoperationer for at reducere matrixen, indtil venstre side er i række-echelonform, og fortsæt derefter med at reducere, indtil venstre side er identitetsmatrixen.
  • Når hele operationen er færdig, er din matrix i formen [I | B]. Med andre ord bliver højre side det omvendte af den oprindelige matrix.
  • Del 3 af 3: Gang matricerne for at fuldføre opgaven

    Billede med titlen Divide Matrices Trin 13
    1. Skriv begge mulige ligninger ned. I "almindelig matematik" med skalarer er multiplikation kommutativ; 2 x 6 = 6 x 2. Dette gælder ikke for matricer, så du skal muligvis løse to problemer:
    • [A] * [B] er løsningen x for problem x[B] = [A].
    • [B] * [A] er løsningen x til problem [B]x = [A].
    • Hvis dette er en del af en ligning, skal du sørge for at anvende den samme operation på begge sider af ligningen. Hvis [A] = [C], så er [B][A] ikke lig med [C][B], fordi [B] er til venstre for [A], men til højre for [C].
    Billede med titlen Divide Matrices Trin 14
    2. Bestem dimensionerne af dit svar. Dimensionerne af den endelige matrix er de ydre dimensioner af de to faktorer. Den har det samme antal rækker som den første matrix og det samme antal kolonner som den anden matrix.
  • Tilbage til det oprindelige eksempel: begge dele (13263913){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}} og (313-413-213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}} er 2 x 2 matricer, så dimensionerne af svaret er også 2 x 2.
  • For at tage et lidt mere kompliceret eksempel: hvis [A] er en 4 x er en 3-matrix og [B] er en 3 x 3 matrix, så har matrixen [A] * [B] dimensionerne 4 x 3.
  • Billede med titlen Divide Matrices Trin 15
    3. Bestem værdien af ​​det første element. Tjek den linkede artikel for detaljerede instruktioner, eller genopfrisk din viden med denne oversigt:
  • For at finde række 1, kolonne 1 i [A][B], find prikproduktet af [A] række 1 og [B] kolonne 1. Så for en 2 x 2 matrix beregner du -en1,1*b1,1+-en1,2*b2,1{displaystyle a_{1,1}*b_{1,1}+a_{1,2}*b_{2,1}}a_{{1,1}}*b_{{1,1}}+a_{{1,2}}*b_{{2,1}}.
  • I vores eksempel (13263913)*(313-413-213713){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}} \{frac{-2}{13}}&{frac{7}{13}}end{pmatrix}}, er række 1 kolonne 1 i dit svar:
    (13*313)+(26*-213){displaystyle (13*{frac {3}{13}})+(26*{frac {-2}{13}})}(13*{frac{3}{13}})+(26*{frac{-2}{13}})
    =3+-4{displaystyle =3+-4}=3+-4
    =-1{displaystyle =-1}=-1
  • Billede med titlen Divide Matrices Trin 16
    4. Beregn prikproduktet for hver position i din matrix. For eksempel er elementet i position 2.1 prikproduktet af [A] række 2 og [B] kolonne 1. Prøv selv at udarbejde eksemplet. Du bør få følgende svar:
  • (13263913)*(313-413-213713)=(-1107-5){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-1&10\7&-5end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}} \{frac{-2}{13}}&{frac{7}{13}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-1&10\7&-5end {pmatrix}}
  • Og den anden løsning: (313-413-213713)*(13263913)=(-92193){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-9&2\19&3end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-9&2\19&3end{ pmmatrix}}
  • Tips

    • Du kan dividere en matrix med en skalar ved at dividere hvert element i matrixen med skalaren.
    • For eksempel matrixen (6824){displaystyle {begin{pmatrix}6&8\2&4end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}6&8\2&4end{pmatrix}} divideret med 2 = (3412){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\1&2end{pmatrix}}}{begin{pmatrix}3&4\1&2end{pmatrix}}

    Advarsler

    • Lommeregnere er ikke altid 100 % nøjagtige i matrixmatematik. For eksempel, hvis din lommeregner angiver, at et element har en meget lille værdi (f.eks. 2E), så er værdien sandsynligvis nul.

    Оцените, пожалуйста статью