Deling af logaritmer: 11 trin (med billeder)

Indhold

Trin
- Metode 1 af 2: Opdeling af logaritmer i hånden
- Metode 2 af 2: Arbejde med logaritmen af en kvotient

Logaritmer kan se vanskelige ud at bruge, men ligesom eksponenter eller polynomier skal du bare lære de rigtige teknikker. Du skal blot kende nogle få grundlæggende egenskaber for at dividere to logaritmer med samme grundtal, eller for at udvide en logaritme med en kvotient.

Trin

Metode 1 af 2: Opdeling af logaritmer i hånden

1. Tjek for negative tal og enere. Denne metode behandler problemer i skemaet

\log b (x) \log b (-en)

${displaystyle {frac {log _{b}(x)}{log _{b}(a)}}}$ . Det virker dog ikke i nogle få specielle tilfælde:

Logaritmen af et negativt tal er ikke defineret for alle baser (f.eks $\log (- 3)$ ${displaystyle log(-3)}$ eller $\log 4 (- 5)$ ${displaystyle log _{4}(-5)}$ ). Skriv derefter `Ingen løsning`.
Logaritmen af nul er også udefineret for alle baser. Hvis du ser et udtryk som $\ln (0)$ ${displaystyle ln(0)}$ , så skriv også `Ingen løsning`.
Logaritmen af en i en hvilken som helst base ( $\log (1)$ ${displaystyle log(1)}$ ) er altid lig med nul, da $x 0 = 1$ ${displaystyle x^{0}=1}$ for alle værdier af x. Erstat den logaritme med 1 i stedet for at bruge metoden nedenfor.
Hvis de to logaritmer har forskellige baser, som f.eks $l O g 3 (x) l O g 4 (-en)$ ${displaystyle {frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}}$ , og du kan ikke forenkle nogen af dem til et heltal, så kan problemet ikke løses manuelt.

Billede med titlen Divide Logarithms Trin 2

2. Rediger udtrykket i én logaritme. Forudsat at du ikke fandt nogen af ovenstående undtagelser, kan du nu forenkle problemet til én logaritme. For at gøre dette skal du bruge formlen

\log b (x) \log b (-en) = \log_{-en} (x)

${displaystyle {frac {log _{b}(x)}{log _{b}(a)}}=log _{a}(x)}$ .

Eksempel 1: Løs:

\log 16 \log 2

${displaystyle {frac {log {16}}{log {2}}}}$ .
Start med at konvertere dette til en logaritme ved hjælp af ovenstående formel:

\log 16 \log 2 = \log_{2} (16)

${displaystyle {frac {log {16}}{log {2}}}=log _{2}(16)}$ .

Denne formel er `ændring af base`-formlen, afledt af de grundlæggende logaritmiske egenskaber.

Billede med titlen Divide Logarithms Trin 3

3. Beregn dette i hånden, hvis det er muligt. Husk: om

\log -en (x)

${displaystyle log _{a}(x)}$ at løse, tænker du på `

-en ? = x

${displaystyle a^{?}=x}$ ` eller `Hvilken eksponent kan jeg bruge -en hæve til x at få?` Det er ikke altid muligt at løse dette uden en lommeregner, men hvis du er heldig ender du med en let forenklet logaritme.

Eksempel 1 (fortsat.): Omskriv

\log 2 (16)

${displaystyle log _{2}(16)}$ hvis

2 ? = 16

${displaystyle 2^{?}=16}$ . Værdien af `?` er svaret på problemet. Du skal muligvis prøve nogle for at finde det:

22 = 2 * 2 = 4

${displaystyle 2^{2}=2*2=4}$

23 = 4 * 2 = 8

${displaystyle 2^{3}=4*2=8}$

24 = 8 * 2 = 16

${displaystyle 2^{4}=8*2=16}$
16 er, hvad du ledte efter, så

\log 2 (16)

${displaystyle log _{2}(16)}$ = 4.

Billede med titlen Divide Logaritms Trin 4

4. Efterlad svaret i logaritmeform, hvis du ikke kan forenkle det. Nogle logaritmer er meget svære at løse i hånden. Du skal bruge en lommeregner, hvis du har brug for svaret til et praktisk formål. Når du løser opgaver i matematiktimerne, forventer din lærer sandsynligvis, at du lader svaret være logaritme. Her er et andet eksempel, der bruger denne metode til et vanskeligere problem:

Eksempel 2: Hvad er

\log 3 (58) \log 3 (7)

${displaystyle {frac {log _{3}(58)}{log _{3}(7)}}}$ ?

Konverter dette til en logaritme::

\log 3 (58) \log 3 (7) = \log_{7} (58)

${displaystyle {frac {log _{3}(58)}{log _{3}(7)}}=log _{7}(58)}$ .(Bemærk at ₃ forsvinder i enhver indledende log -- dette gælder for enhver base).

Omskriv som

7 ? = 58

${displaystyle 7^{?}=58}$ og test mulige værdier af ?:

72 = 7 * 7 = 49

${displaystyle 7^{2}=7*7=49}$

73 = 49 * 7 = 343

${displaystyle 7^{3}=49*7=343}$
Da 58 falder mellem disse to tal, har

\log 7 (58)

${displaystyle log _{7}(58)}$ intet heltal som svar.

Efterlad dit svar som:

\log 7 (58)

${displaystyle log _{7}(58)}$ .

Metode 2 af 2: Arbejde med logaritmen af en kvotient

Billede med titlen Divide Logarithms Trin 5

1. Start med et divisionsproblem i en logaritme. Dette afsnit hjælper dig med at løse problemer med udtryk i formularen

\log -en (\frac{x}{y})

${displaystyle log _{a}({frac {x}{y}})}$ .

Start for eksempel med dette problem:
`Løs for n if $\log 3 (27 6 n) = - 6 - \log_{3} (6)$ ${displaystyle log _{3}({frac {27}{6n}})=-6-log _{3}(6)}$ .`

Billede med titlen Divide Logarithms Trin 6

2. Tjek for negative tal. Logaritmen af et negativt tal er udefineret. Hvis x eller y er et negativt tal, skal du kontrollere, om problemet har en løsning, før du fortsætter:

Hvis enten x eller y er negativ, er der ingen løsning på problemet.

hvis begge x hvis y er negativ, fjern de negative fortegn ved hjælp af egenskaben

- x - y = \frac{x}{y}

${displaystyle {frac {-x}{-y}}={frac {x}{y}}}$

Der er ingen logaritmer af negative tal i eksempelopgaven, så du kan fortsætte til næste trin.

Billede med titlen Divide Logarithms Trin 7

3. Opdel kvotienten i to logaritmer. En nyttig egenskab ved logaritmer er beskrevet med formlen:

\log -en (\frac{x}{y}) = \log_{-en} (x) - \log_{-en} (y)

${displaystyle log _{a}({frac {x}{y}})=log _{a}(x)-log _{a}(y)}$ . Med andre ord er logaritmen af en kvotient altid lig med tællerens logaritme, minus nævnerens logaritme.

Brug dette til at udvide venstre side af prøveproblemet:

\log 3 (27 6 n) = \log_{3} (27) - \log_{3} (6 n)

${displaystyle log _{3}({frac {27}{6n}})=log _{3}(27)-log _{3}(6n)}$

Erstat dette tilbage i den oprindelige ligning:

\log 3 (27 6 n) = - 6 - \log_{3} (6)

${displaystyle log _{3}({frac {27}{6n}})=-6-log _{3}(6)}$
→

\log 3 (27) - \log_{3} (6 n) = - 6 - \log_{3} (6)

${displaystyle log _{3}(27)-log _{3}(6n)=-6-log _{3}(6)}$

Billede med titlen Divide Logarithms Trin 8

4. Forenkle logaritmerne, hvis det er muligt. Hvis nogen af de nye logaritmer i udtrykket er et heltal, skal du forenkle dem nu.

Eksempelproblemet har et nyt udtryk:

\log 3 (27)

${displaystyle log _{3}(27)}$ . Da 3 = 27, forenkles

\log 3 (27)

${displaystyle log _{3}(27)}$ grim 3.

Den fulde sammenligning er nu:

3 - \log 3 (6 n) = - 6 - \log_{3} (6)

${displaystyle 3-log _{3}(6n)=-6-log _{3}(6)}$

Billede med titlen Divide Logarithms Trin 9

5. Isoler variablen. Som ethvert matematisk problem hjælper det at isolere udtrykket med variablen på den ene side af ligningen. Fjern lignende udtryk, hvor det er muligt for at forenkle ligningen.

3 - \log 3 (6 n) = - 6 - \log_{3} (6)

${displaystyle 3-log _{3}(6n)=-6-log _{3}(6)}$

9 - \log 3 (6 n) = - \log_{3} (6)

${displaystyle 9-log _{3}(6n)=-log _{3}(6)}$

\log 3 (6 n) = 9 + \log_{3} (6)

${displaystyle log _{3}(6n)=9+log _{3}(6)}$ .

Billede med titlen Divide Logaritms Trin 10

6. Brug yderligere egenskaber for logaritmer, når det er nødvendigt. For at isolere variablen fra andre termer inden for den samme logaritme, omskriv termen ved hjælp af forskellige logaritmiske egenskaber.

I eksempelproblemet er n stadig fanget i udtrykket

\log 3 (6 n)

${displaystyle log _{3}(6n)}$ .
Rundt om n for at isolere, brug produktreglen for logaritmer:

\log -en (b c) = \log_{-en} (b) + \log -en (c)

${displaystyle log _{a}(bc)=log _{a}(b)+log {a}(c)}$

\log 3 (6 n) = \log_{3} (6) + \log_{3} (n)

${displaystyle log _{3}(6n)=log _{3}(6)+log _{3}(n)}$

Erstat dette tilbage i den fulde ligning:

\log 3 (6 n) = 9 + \log_{3} (6)

${displaystyle log _{3}(6n)=9+log _{3}(6)}$

\log 3 (6) + \log_{3} (n) = 9 + \log_{3} (6)

${displaystyle log _{3}(6)+log _{3}(n)=9+log _{3}(6)}$

Billede med titlen Divide Logarithms Trin 11

7. Fortsæt med at forenkle, indtil du finder løsningen. Gentag de samme algebraiske og logaritmiske teknikker for at løse problemet. Hvis der ikke er en heltalsløsning, så brug en lommeregner og afrund til nærmeste signifikante tal.