Lær at opdele kvadrater: 8 trin

Indhold

Trin
Tips

En af de vigtigste færdigheder for matematikstuderende er abc-formlen, eller $x = - b \pm \sqrt{b} 2 - 4 -en c 2 -en .$ $x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$ Ved hjælp af abc-formlen løses en andengradsligning af formen $-en x 2 + b x + c = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$ et simpelt spørgsmål om at erstatte koefficienterne $-en, b, c$ $ABC$ i formlen. Selvom det ofte er nok for mange at kende formlen, er det det at forstå hvordan det er afledt (med andre ord hvor det kommer fra) noget helt andet. Formlen er udledt via `firkantet` som også har andre applikationer indenfor matematik, så det er klogt at du er fortrolig med det.

Trin

1. Start med standardformen af en generel andengradsligning. Selvom enhver sammenligning med et udtryk som

x 2

$x^{{2}}$ i, er kvadratisk, sætter standardformen alt til nul. Huske på, at

-en, b, c

$ABC$ er koefficienter, der kan være et hvilket som helst heltal, så nu kan du ikke udfylde tal for variablerne - vi vil arbejde med den generelle form.

$-en x 2 + b x + c = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$
Den eneste betingelse er det $-en \neq 0$ $aneq 0$ , ellers forenkles ligningen til en lineær ligning. Se om du kan finde generelle løsninger til særlige tilfælde, hvor $b = 0$ $b=0$ og $c = 0$ $c=0$ .

2. trække c{displaystyle c} $c$ væk fra begge sider. Vores mål er at isolere

x

$x$ . Vi starter med at flytte en af koefficienterne til den anden side, så venstre side kun består af led med

x

$x$ .

-en x 2 + b x = - c

$ax^{{2}}+bx=-c$

3. Del begge sider -en{displaystyle a} $-en$ . Bemærk, at vi kunne have byttet disse i det forrige trin og stadig få det samme svar. Husk at dividere et polynomium med noget indebærer at dividere hvert af dets individuelle led. Dette gør det nemmere at opdele kvadratet.

x 2 + \frac{b}{-en} x = - c -en

$x^{{2}}+{frac{b}{a}}x={frac{-c}{a}}$

4.Del firkanten. Husk at målet er at skabe et udtryk

x 2 + 2 ◻ x + ◻^{2}

$x^{{2}}+2Box x+Box ^{{2}}$ at omskrive som

(x + ◻) 2,

$(x+Box )^{{2}},$ hvorved

◻

$Boks$ er en koefficient. Dette er muligvis ikke umiddelbart klart for dig. For at gøre det klarere, omskriv

\frac{b}{-en} x

${frac{b}{a}}x$ hvis

2 b 2 -en x

$2{frac{b}{2a}}x$ ved at gange udtrykket med

\frac{2}{2} .

${frac{2}{2}}$ Vi kan gøre dette, fordi gange med 1 ikke ændrer noget. Det kan vi nu tydeligt se i vores tilfælde

◻ = b 2 -en,

$Boks ={frac{b}{2a}},$ , så kun udtrykket mangler

◻ 2

$Boks ^{{2}}$ . For at opdele kvadratet tilføjer vi det således på begge sider – nemlig,

(b 2 -en) 2 = b 2 4 -en 2 .

$left({frac{b}{2a}}right)^{{2}}={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}$ Og så kan vi selvfølgelig faktorisere.

\begin{matrix} x \end{matrix} 2 + 2 b 2 -en x + b 2 4 -en 2 = b 2 4 -en 2 - \frac{c}{-en} (^{x + b 2 -en) 2} & = b 2 4 -en 2 - \frac{c}{-en}

${begin{aligned}x^{{2}}+2{frac{b}{2a}}x+{frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}& ={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}\venstre(x+{frac{b}{2a}} right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}end{aligned} }$

Det er tydeligt her hvorfor

-en \neq 0

$aneq 0$ , fordi

-en

$-en$ er i nævneren, og du kan ikke dividere med nul.

Hvis du har brug for det, kan du forlænge venstre side for at sikre, at firkantningen fungerer.

5. Skriv højre side under en fællesnævner. Vi ønsker, at begge nævnere skal være

4 -en 2

$4a^{{2}}$ er, så gange udtrykket

- c -en

${frac{-c}{a}}$ af

4 -en 4 -en

${frac{4a}{4a}}$ .

\begin{matrix}  \end{matrix} (x + b 2 -en) 2 = b 2 4 -en 2 - 4 -en c 4 -en 2 = b 2 - 4 -en c 4 -en 2

${begin{aligned}left(x+{frac{b}{2a}}right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2 }}}}-{frac{4ac}{4a^{{2}}}}\&={frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}} end{aligned}}$

6. Beregn kvadratroden af begge sider. Det er dog vigtigt, at du forstår, at du ved at gøre dette grundlæggende tager to trin. Når du tager kvadratroden af

d 2

$d^{{2}}$ , så får du

d

$d$ ikke. Du får dybest set den absolutte værdi af det,

| d |

$|d|$ . Denne absolutte værdi er vigtig for at få begge rødder - blot at placere kvadratrødder over begge sider vil kun give en af rødderne.

| x + b 2 -en | = \sqrt{} b 2 - 4 -en c 4 -en 2

$left|x+{frac{b}{2a}}right|={sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Nu kan vi slippe for de absolutte værditegn, ved

\pm

$om eftermiddagen$ at placere til højre. Vi kan gøre dette, fordi den absolutte værdi ikke skelner mellem positive og negative tal, så de er begge gyldige. Denne detalje er grunden til, at andengradsligningen gør det muligt at få to rødder som et resultat.

x + b 2 -en = \pm \sqrt{} b 2 - 4 -en c 4 -en 2

$x+{frac{b}{2a}}=pm {sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Lad os forenkle dette udtryk lidt mere. Da kvadratroden af en kvotient er kvotienten af kvadratrødderne, kan vi skrive højre side som

\pm \sqrt{b} 2 - 4 -en c \sqrt{4 {-en}^{2}} .

${frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{{sqrt{4a^{{2}}}}}}$ Så kan vi tage kvadratroden af nævneren.

x + b 2 -en = \pm \sqrt{b} 2 - 4 -en c 2 -en

$x+{frac{b}{2a}}={frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

7. isolere x{displaystyle x} $x$ ved at trække fra

b2-en{displaystyle {frac {b}{2a}}} ${frac{b}{2a}}$ på begge sider.

x = - b 2 -en \pm \sqrt{b} 2 - 4 -en c 2 -en

$x={frac{-b}{2a}}pm {frac{{sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

8. Skriv højre side under en fællesnævner. Dette er ikke som abc-formlen, formlen til at løse en andengradsligning i standardform. Dette virker for enhver

-en, b, c

$ABC$ og giver

x

$x$ som et resultat, som kan være et reelt eller komplekst tal. For at bekræfte, at denne proces fungerer, skal du blot følge trinene i denne artikel i omvendt rækkefølge for at vende tilbage til standardformularen.

x = - b \pm \sqrt{b} 2 - 4 -en c 2 -en

$x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

Tips

Det er interessant at bemærke, at abc-formlen også gælder for komplekse koefficienter, selvom du skal forenkle en smule mere for at få det endelige svar, og rødderne er ikke konjugerede par. Problemer med kvadratiske udtryk er dog næsten altid givet med reelle koefficienter.