Sådan beregnes volumen af en firkantet pyramide

Indhold

Trin
Tips

En firkantet pyramide er en tredimensionel figur med en firkantet base og trekantede skråninger, der mødes på et punkt over basen. I tilfælde af at $s$ $s$ er længden af en af siderne af kvadratet og $h$ $h$ højden af pyramiden (den vinkelrette afstand fra basis til det punkt), så kan rumfanget af en kvadratisk pyramide beregnes ved hjælp af formlen $V = \frac{1}{3} s^{2} h$ $V={frac{1}{3}}s^{2}h$ . Det er ligegyldigt, om pyramiden er på størrelse med en papirvægt eller større end Pyramiden i Giza - denne formel fungerer for enhver firkantet pyramide. Volumen kan også beregnes ved at bruge pyramidens `apothema`.

Trin

Metode 1 af 3: Bestem volumenet med arealet af basen og højden

1. Mål længden af siden af basen. Da firkantede pyramider per definition har en kvadratisk base, bør alle sider af basen have samme længde. Så med en firkantet pyramide behøver du kun at kende længden af en af siderne.

Antag, at du har en pyramide med en firkantet base, hvis sider har en længde på $s = 5 cm$ $s=5{tekst{cm}}$ . Du vil bruge denne værdi til at beregne arealet af basen.
Hvis siderne af basen ikke er lige lange, så har du en rektangulær pyramide i stedet for en firkantet pyramide. Formlen for rumfanget af en rektangulær pyramide ligner meget formlen for firkantede pyramider. I tilfælde af at $l$ $l$ er længden af bunden af den rektangulære pyramide og $w$ $w$ bredden, derefter pyramidens rumfang $V = \frac{1}{3} h * l * w$ $V={frac{1}{3}}h*l*w$ .

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 02

2. Beregn arealet af basen. For at bestemme volumen skal du først bruge området af basen. Det gør du ved at gange længden og bredden af basen. Da bunden af en firkantet pyramide er en firkant, har alle sider den samme længde, og arealet af bunden er lig med kvadratet på længden af en af dens sider (altså ganget med sig selv).

I eksemplet er siderne af bunden af pyramiden alle 5 cm, og du beregner arealet af bunden som følger:

Overflade = s^{2} = (5 cm)^{2} = 25 {cm}^{2}

${text{Area}}=s^{2}=(5{text{cm}})^{2}=25{text{cm}}^{2}$

Husk at todimensionelle områder er udtrykt i kvadrater – kvadratcentimeter, meter, kilometer osv.

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 03

3. Multiplicer arealet af basen med pyramidens højde. Derefter gange du grundfladen med pyramidens højde. Som en påmindelse er højden afstanden er længden af linjestykket fra toppen af pyramiden til bunden, i rette vinkler.

I eksemplet antager vi, at pyramiden har en højde på 9 cm. I dette tilfælde skal du gange arealet af basen med denne værdi, som følger:

25 cm 2 * 9 cm = 225 {cm}^{3}

$25{text{cm}}^{2}*9{text{cm}}=225{text{cm}}^{3}$

Husk at volumen er udtrykt i kubikenheder. I dette tilfælde, fordi alle lineære mål er centimeter, er volumen angivet i kubikcentimeter.

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 04

4. Divider dette svar med 3. Til sidst bestemmer du pyramidens rumfang ved at dividere den værdi, du lige har fundet (ved at gange arealet af basen med højden) med 3. Dette beregner rumfanget af den firkantede pyramide.

I eksemplet divideres 225 cm med 3, og svaret er 75 cm for volumen.

Metode 2 af 3: Bestem rumfanget med apotemet

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 05

1. Mål pyramidens apotem. Nogle gange er pyramidens vinkelrette højde ikke angivet (eller du skal måle den), men apotemet. Med apotemet kan du bruge Pythagoras sætning bruges til at beregne vinkelret højde.

Apotem af en pyramide er afstanden fra spidsen til midten af en af siderne af dens base. Mål til midten af en af siderne og ikke til et af hjørnerne af basen. For dette eksempel antager vi, at apotem er 13 cm og længden af den ene side af basen er 10 cm.
Husk, at Pythagoras sætning kan udtrykkes som ligningen $-en 2 + b^{2} = c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , hvorved $-en$ $-en$ og $b$ $b$ de vinkelrette ben er af den rette trekant og $c$ $c$ hypotenusen.

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 06

2. Forestil dig en retvinklet trekant. For at bruge Pythagoras sætning skal du bruge en retvinklet trekant. Forestil dig en trekant, der deler pyramiden i to og vinkelret på bunden af pyramiden. Pyramidens apotem, kaldet

l

$l$ , er hypotenusen af denne retvinklede trekant. Basen af denne retvinklede trekant er halvdelen af længden af

s

$s$ , siden af pyramidens firkantede base.

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 07

3. Tildel variabler til værdierne. Pythagoras sætning bruger variablerne a, b og c, men det er nyttigt at erstatte dem med variabler, der er meningsfulde for dit problem. apotemet

l

$l$ træder i stedet for

c

$c$ i Pythagoras sætning. Benet af den retvinklede trekant (

\frac{s}{2}

${frac{s}{2}}$ ), træder i stedet for

b .

$b$ Du går i højden

h

$h$ bestemme pyramiden, som indtager pladsen

-en

$-en$ i Pythagoras sætning.

Denne udskiftning ser sådan ud:

-en 2 + b^{2} = c^{2}

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

h 2 + (\frac{s}{2})^{2} = l^{2}

$h^{2}+({frac{s}{2}})^{2}=l^{2}$

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 08

4. Brug Pythagoras sætning til at beregne den vinkelrette højde. Brug de målte værdier

s = 10

$s=10$ og

l = 13

$l=13$ . Løs derefter ligningen:

h 2 = l^{2} - (\frac{s}{2})^{2}

$h^{2}=l^{2}-({frac{s}{2}})^{2}$ .....(oprindelig ligning)

h = \sqrt{l} 2 - (\frac{s}{2})^{2}

$h={sqrt{l^{2}-({frac{s}{2}})^{2}}}$ .....(firkant på begge sider)

h = \sqrt{13} 2 - (\frac{10}{2})^{2}

$h={sqrt{13^{2}-({frac{10}{2}})^{2}}}$ .....(indtast værdier)

h = \sqrt{169 - 5} 2

$h={sqrt{169-5^{2}}}$ .....(forenkle brøk)

h = \sqrt{169 - 25}

$h={sqrt{169-25}}$ .....(forenkle firkantet)

h = \sqrt{144}

$h={sqrt{144}}$ .....(trække fra)

h = 12

$h=12$ .....(forenkle root)

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 09

5. Brug højde og base til at beregne volumen. Efter at have anvendt disse beregninger på Pythagoras sætning har du nu den information, du har brug for til at beregne volumen af pyramiden. Brug formlen

V = \frac{1}{3} s^{2} h

$V={frac{1}{3}}s^{2}h$ og løs disse, og sørg for at give svaret i kvadratiske enheder.

Ud fra beregningerne udleder vi, at pyramidens højde er 12 cm. Brug dette sammen med 10 cm-siden af basen til at beregne pyramidens rumfang:

V = \frac{1}{3} s^{2} h

$V={frac{1}{3}}s^{2}h$

V = \frac{1}{3} (10^{2}) 12

$V={frac{1}{3}}(10^{2})12$

V = \frac{1}{3} (100) (12)

$V={frac{1}{3}}(100)(12)$

V = 400 cm 3

$V=400{text{cm}}^{3}$

Metode 3 af 3: Bestemmelse af volumen med højden af benene

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 10

1. Mål højden af pyramidens ben. Højden på benene er længden af pyramidens kanter, målt fra toppen til et af hjørnerne af basen. Som ovenfor, brug Pythagoras sætning til at beregne den vinkelrette højde af pyramiden.

I dette eksempel antager vi, at højden på benene er 11 cm, og at den vinkelrette højde er 5 cm.

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 11

2. Forestil dig en retvinklet trekant. Igen skal du bruge en retvinklet trekant for at kunne bruge Pythagoras sætning. I dette tilfælde er den ukendte værdi dog bunden af pyramiden. Kendt er den lodrette højde og højden af benene. Forestil dig nu at skære pyramiden diagonalt fra det ene hjørne til det andet, og derefter åbne figuren, det resulterende fly vil ligne en trekant. Højden af den trekant er den vinkelrette højde af pyramiden. Dette opdeler den blotlagte trekant i to symmetriske retvinklede trekanter. Hypotenusen af hver af de rette trekanter er højden af pyramidens ben. Grundlaget for hver af de retvinklede trekanter er halvdelen af diagonalen af bunden af pyramiden.

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 12

3. Tildel variabler. Brug den imaginære retvinklede trekant og tildel værdier til Pythagoras sætning. Du kender den lodrette højde,

h,

$h,$ som er den ene side af Pythagoras sætning,

-en

$-en$ . Højden af pyramidens ben,

l,

$l,$ danner hypotenusen af denne imaginære retvinklede trekant og træder derfor i stedet for

c

$c$ . Den ukendte diagonal af bunden af pyramiden er den resterende side af den retvinklede trekant,

b .

$b$ Efter at have foretaget disse substitutioner ser ligningen sådan ud:

-en 2 + b^{2} = c^{2}

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

h 2 + b^{2} = l^{2}

$h^{2}+b^{2}=l^{2}$

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 13

4. Beregn diagonalen af kvadratbasen. Du skal omarrangere ligningen for at få variablen

b

$b$ isolere, og beregn derefter dens værdi.

h 2 + b^{2} = l^{2}

$h^{2}+b^{2}=l^{2}$ ..........(justeret ligning)

b 2 = l^{2} - h^{2}

$b^{2}=l^{2}-h^{2}$ ..........(erstat h på begge sider)

b = \sqrt{l} 2 - h^{2}

$b={sqrt{l^{2}-h^{2}}}$ ..........(træk kvadratroden fra begge sider fra)

b = \sqrt{11} 2 - 5^{2}

$b={sqrt{11^{2}-5^{2}}}$ ..........(udfyld tallene)

b = \sqrt{121 - 25}

$b={sqrt{121-25}}$ ..........(forenkle firkanterne)

b = \sqrt{96}

$b={sqrt{96}}$ ..........(træk værdier fra)

b = 9.80

$b=9,80$ ..........(forenkle kvadratroden)

Fordoble denne værdi for at finde diagonalen af pyramidens kvadratiske base. Således er diagonalen af bunden af pyramiden 9,8 * 2 = 19,6 cm.

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 14

5. Find siden af bunden af diagonalen. Pyramidens bund er en firkant. Diagonalen af hvert kvadrat er lig med længden af en af dets sider, gange kvadratroden 2. Og så kan du finde siden af et kvadrat ved at dividere diagonalen med kvadratroden 2.

I dette pyramideeksempel er bundens diagonal 19,6 cm. Derfor er siden lig med:

s = \frac{19.6}{\sqrt{2}} = \frac{19.6}{1.41} = 13.90

$s={frac{19.6}{{sqrt{2}}}}={frac{19.6}{1.41}}=13.90$

Billede med titlen Beregn volumen af en firkantet pyramide Trin 15

6. Beregn volumen ved hjælp af siden og højden. Vend tilbage til den oprindelige formel for at beregne volumen ved hjælp af side og vinkelret højde.