Verifikation af usikkerhedsprincippet for en kvanteharmonisk oscillator

Den kvanteharmoniske oscillator er kvanteanalogien af ​​den klassiske simple harmoniske oscillator. Ved hjælp af grundtilstandsløsningen tager vi position og forventede impulsværdier og tjekker usikkerhedsprincippet med det.

Trin

Del 1 af 3: En grundtilstandsløsning

1. Husk Schrödinger-ligningen. Denne partielle differentialligning er den grundlæggende bevægelsesligning inden for kvantemekanikken, der beskriver, hvordan en kvantetilstand ψ{displaystyle psi }psi udvikler sig over tid. huh^{displaystyle {hat {H}}}{hat{H}} betegner Hamiltonian, energioperatøren, der beskriver den samlede energi i et system.
  • jegψt=huh^ψ{displaystyle ihbar {frac {partial psi }{partial t}}={hat {H}}psi }ihbar {frac{partial psi }{partial t}}={hat{H}}psi
2. Skriv Hamiltonianeren for den harmoniske oscillator. Selvom positions- og momentumvariablerne er blevet erstattet af deres tilsvarende operatorer, ligner udtrykket stadig den kinetiske og potentielle energi af en klassisk harmonisk oscillator. Da vi arbejder i fysiske rum, er operatørstillingen givet af x^=x,{displaystyle {hat {x}}=x,}{hat{x}}=x, mens impulsoperatøren er givet af s^=-jegx.{displaystyle {hat {p}}=-ihbar {frac {partial }{partial x}}.}{hat{p}}=-ihbar {frac{partial }{partial x}}
  • huh^=s^22m+12mΩ2x^2{displaystyle {hat {H}}={frac {{hat {p}}^{2}}{2m}}+{frac {1}{2}}momega ^{2}{ hat {x}}^{2}}{hat{H}}={frac{{hat{p}}^{{2}}}{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}} {hat{x}}^{{2}}
  • 3. Skriv den tidsuafhængige Schrödinger-ligning. Vi ser, at Hamiltonianeren ikke eksplicit afhænger af tid, så løsningerne af ligningen vil være uforanderlige tilstande. Den tidsuafhængige Schrödinger-ligning er en ligning for egenværdien, så at løse den betyder, at vi finder energiegenværdierne og deres tilsvarende egenfunktioner -- bølgefunktionerne --.
  • -22md2ψdx2+12mΩ2x2ψ=Eψ{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {mathrm {d} ^{2}psi }{mathrm {d} x^{2}}}+{ frac {1}{2}}momega ^{2}x^{2}psi =Epsi }-{frac{hbar ^{{2}}}{2m}}{frac{{mathrm{d}}^{{2}}psi }{{mathrm{d}}x^{{ 2}}}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}}x^{{2}}psi =Epsi
  • 4. Løs differentialligningen. Denne differentialligning har variable koefficienter og kan ikke let løses med simple metoder. Efter normalisering kan grundtilstandsløsningen dog skrives som:. Husk at denne løsning kun beskriver en endimensionel oscillator.
  • ψ(x)=(mΩπ)1/4eksp(-mΩ2x2){displaystyle psi (x)=left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/4}exp left(-{frac {momega } {2hbar }}x^{2}right)}psi (x)=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/4}}exp left(-{frac{momega }{ 2hbar }}x^{{2}}right)
  • Dette er en Gauss, centreret om x=0.{displaystyle x=0.}x=0 Vi udnytter, at denne funktion endda er til at forenkle vores beregninger i næste del.
  • Del 2 af 3: Forventningsværdier

    1. Husk formlen for usikkerhed. Usikkerheden for en observerbar værdi, såsom en position, er matematisk lig standardafvigelsen. Det vil sige, vi bestemmer middelværdien, trækker hver værdi fra middelværdien, kvadrerer disse værdier og beregner middelværdien og trækker derefter kvadratroden af ​​resultatet fra.
    • Σx=kønx2køn-kønxkøn2{displaystyle sigma _{x}={sqrt {langle x^{2}rangle -langle xrangle ^{2}}}}sigma _{{x}}={sqrt{langle x^{{2}}rangle -langle xrangle ^{{2}}}}
    2. Bestemme kønxkøn{displaystyle langle xrangle }langle xrangle. Da funktionen er lige, kan vi ud fra symmetrien udlede, at kønxkøn=0.{displaystyle langle xrangle =0.}lang xrangle =0
  • Hvis du skriver integralet ud, som du skulle evaluere, ser du, at integranden er en ulige funktion, fordi en ulige funktion gange en lige funktion er ulige.
  • kønxkøn=-x|ψ(x)|2dx{displaystyle langle xrangle =int _{-infty }^{infty }x|psi (x)|^{2}mathrm {d} x}langle xrangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x|psi (x)|^{{2}}{mathrm{d}}x
  • En egenskab ved en ulige funktion er, at for hver positiv værdi af funktionen er der en dobbeltganger - en tilknyttet negativ værdi - der annullerer funktionen. Da vi har alle værdier af x{displaystyle x}x evaluere, ved vi, at integralet bliver 0, uden at vi skal lave beregningerne.
  • 3. Beregn kønx2køn{displaystyle langle x^{2}rangle }langle x^{{2}}rangle. Da vores løsning er skrevet som en kontinuerlig bølgefunktion, bruger vi nedenstående integral. Integralet beskriver den forventede værdi for x2{displaystyle x^{2}}x^{{2}}, integreret over hele rummet.
  • kønx2køn=-x2|ψ(x)|2dx{displaystyle langle x^{2}rangle =int _{-infty }^{infty }x^{2}|psi (x)|^{2}mathrm {d} x}langle x^{{2}}rangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x^{{2}}|psi (x)|^{{2}}{ mathrm{d}}x
  • 4. Erstat bølgefunktionen i integralet og forenkle. Vi ved, at bølgefunktionen er lige. Kvadratet af en lige funktion er også lige, så vi kan tage en faktor 2 uden for parentesen og sænke den nedre grænse til 0.
  • kønx2køn=2(mΩπ)1/20x2eksp(-mΩx2)dx{displaystyle langle x^{2}rangle =2left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}int _{0}^{ infty }x^{2}exp left(-{frac {momega }{hbar }}x^{2}right)mathrm {d} x}langle x^{{2}}rangle =2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{0}} ^{{infty }}x^{{2}}exp left(-{frac{momega }{hbar }}x^{{2}}right){mathrm{d}} x
  • 5. Vurdere. Vær den første til α=mΩ.{displaystyle alpha ={frac {momega }{hbar }}.}alpha ={frac{momega }{hbar }} Så integrerer vi ikke per del, men vi bruger gammafunktionen.
  • kønx2køn=2(mΩπ)1/20x2e-αx2dx, du=αx2=2(mΩπ)1/20duαe-duddu12αx, x=duα=(mΩπ)1/2α-3/20du1/2e-duddu=(mΩπ)1/2(mΩ)-3/2Γ(32), Γ(32)=π2=mΩ1ππ2=2mΩ{displaystyle {begin{aligned}langle x^{2}rangle &=2venstre({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}int _{0}^{infty }x^{2}e^{- alpha x^{2}}mathrm {d} x, u=alpha x^{2}\&=2venstre({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}int _{0}^{infty }{frac {u}{alpha } }e^{-u}mathrm {d} u{frac {1}{2alpha x}}, x={sqrt {frac {u}{alpha }}}\&=venstre({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}alpha ^{-3/2}int _{0}^{infty }u^ {1/2}e^{-u}mathrm {d} u\&=venstre({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}left({frac {momega }{hbar }}right)^{- 3/2}Gamma left({frac {3}{2}}right), Gamma left({frac {3}{2}}right)={frac {sqrt {pi }}{2}}\&={frac {hbar }{momega }}{frac {1}{sqrt {pi }}}{frac {sqrt {pi }}{2}}\&={frac {hbar }{2momega }}end{aligned}}}{begin{aligned}langle x^{{2}}rangle &=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}} int _{{0}}^{{infty }}x^{{2}}e^{{-alpha x^{{2}}}}{mathrm{d}}x, u =alpha x^{{2}}\&=2venstre({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{ 0}}^{{infty }}{frac{u}{alpha }}e^{{-u}}{mathrm{d}}u{frac{1}{2alpha x}} ,  x={sqrt{{frac{u}{alpha }}}}\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{ {1/2}}alpha ^{{-3/2}}int _{{0}}^{{infty }}u^{{1/2}}e^{{-u}}{ mathrm{d}}u\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}left({frac{m omega }{hbar }}right)^{{-3/2}}Gamma left({frac{3}{2}}right), \Gamma left({frac{3 }{2}}right)={frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{momega }}{frac{1} {{sqrt{pi }}}}{frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{2momega }}end{aligned }}
  • 6. Kom frem til usikkerheden i position. Ved at bruge det forhold, vi udarbejdede i trin 1 i dette afsnit, følger det Σx{displaystyle sigma _{x}}sigma _{{x}} umiddelbart fra vores resultater.
  • Σx=2mΩ{displaystyle sigma _{x}={sqrt {frac {hbar }{2momega }}}}sigma _{{x}}={sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}
  • 7. Bestemme kønskøn{displaystyle langle prangle }lang prangle. Som med middelpositionen kan der laves et symmetriargument, der fører til kønskøn=0.{displaystyle langle prangle =0.}langprangle =0.
    8. Beregn køns2køn{displaystyle langle p^{2}rangle }langle p^{{2}}rangle. I stedet for direkte at anvende bølgefunktionen til at beregne denne forventningsværdi, kan vi bruge bølgefunktionens energi til at forenkle de nødvendige beregninger. Grundtilstandsenergien for den harmoniske oscillator er angivet nedenfor.
  • E0=12Ω{displaystyle E_{0}={frac {1}{2}}hbar omega }E_{{0}}={frac{1}{2}}hbar omega
    9. Forbind grundtilstandens energi med partiklens kinetiske og potentielle energi. Det forventes, at denne relation ikke kun gælder for enhver position og impuls, men også for deres forventningsværdier.
  • 12Ω=køns2køn2m+12mΩ2kønx2køn{displaystyle {frac {1}{2}}hbar omega ={frac {langle p^{2}rangle }{2m}}+{frac {1}{2}}momega ^{2}lang x^{2}rangle }{frac{1}{2}}hbar omega ={frac{langle p^{{2}}rangle }{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^ {{2}}langle x^{{2}}rangle
    10. Løs for køns2køn{displaystyle langle p^{2}rangle }langle p^{{2}}rangle.
  • mΩ=køns2køn+m2Ω22mΩ{displaystyle mhbar omega =langle p^{2}rangle +m^{2}omega ^{2}{frac {hbar }{2momega }}}mhbar omega =langle p^{{2}}rangle +m^{{2}}omega ^{{2}}{frac{hbar }{2momega }}
  • køns2køn=mΩ2{displaystyle langle p^{2}rangle ={frac {mhbar omega }{2}}}langle p^{{2}}rangle ={frac{mhbar omega }{2}}
    11. Kom frem til usikkerheden i dynamikken.
  • Σs=mΩ2{displaystyle sigma _{p}={sqrt {frac {mhbar omega }{2}}}}sigma _{{p}}={sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}
  • Del 3 af 3: Verifikation af usikkerhedsforholdet

    1. Overvej Heisenbergs usikkerhedsprincip for position og momentum. Usikkerhedsrelationen er en grundlæggende grænse for den præcision, hvormed vi kan måle visse par observerbare data, såsom position og momentum. Tjek tipsene for mere baggrund om usikkerhedsprincippet.
    • ΣxΣs2{displaystyle sigma _{x}sigma _{p}geq {frac {hbar }{2}}}sigma _{{x}}sigma _{{p}}geq {frac{hbar }{2}}
    2. Erstat usikkerheden i den kvanteharmoniske oscillator.
  • 2mΩmΩ2222{displaystyle {begin{aligned}{sqrt {frac {hbar }{2momega }}}{sqrt {frac {mhbar omega }{2}}}&geq {frac {hbar }{2}}\{frac {hbar }{2}}&geq {frac {hbar }{2}}end{aligned}}}{begin{aligned}{sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}{sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}&geq { frac{hbar }{2}}\{frac{hbar }{2}}&geq {frac{hbar }{2}}end{aligned}}
  • Vores resultater er i overensstemmelse med usikkerhedsprincippet. Faktisk opnår dette forhold kun grundtilstandslighed – hvis man antager en højere energitilstand, øges usikkerheden af ​​position og momentum kun.
  • Tips

    • Der er to måder, hvorpå vi kan forklare spørgsmålet om, hvorfor usikkerhedsforholdet eksisterer.
    • Fra bølgemekanikken er bølgefunktionens udtryk med hensyn til position og dynamik Fourier-transformationer af hinanden. En egenskab ved Fourier-transformationen er, at en funktion og dens Fourier-transformation ikke begge er entydigt lokaliserede.
    • Et simpelt eksempel er Fourier-transformationen af ​​den rektangulære funktion. Efterhånden som funktionens bredde falder (bliver mere lokaliseret), så bliver Fourier-transformationen (en sinuskurve) fladere og fladere. Et ekstremt eksempel er Dirac delta-funktionen, hvor bredden er uendelig lille (perfekt lokalitet). Fourier-transformationen er en konstant (uendelig usikkerhed).
    • Den anden måde at se det på er fra matrixmekanik. Positions- og momentumoperatorerne har en kommuteringsrelation, der ikke er nul. Hvis to operatorer pendler, vil deres kommuteringsrelation være nul, som angivet i parentesen nedenfor.
    • [x^,s^]=x^s^-s^x^=jeg{displaystyle [{hat {x}},{hat {p}}]={hat {x}}{hat {p}}-{hat {p}}{hat {x}} =ihbar }[{hat{x}},{hat{p}}]={hat{x}}{hat{p}}-{hat{p}}{hat{x}}=i hbar
  • Det viser sig, at denne kommuteringsrelation må indebære et grundlæggende usikkerhedsprincip. Når en operatør x^{displaystyle {hat {x}}}{hat{x}} virker på en tilstand, så kollapser bølgefunktionen til egentilstanden af x^{displaystyle {hat {x}}}{hat{x}} med et unikt mål (egenværdien). Imidlertid er egentilstanden af x^{displaystyle {hat {x}}}{hat{x}} behøver ikke at være en egentilstand for en anden operator s^.{displaystyle {hat {p}}.}{hat{p}} Hvis det er tilfældet, så er der ikke noget unikt mål for de observerbare data s,{displaystyle p,}p, betyder, at tilstanden kun kan skrives som en lineær kombination af momentum-baserede egentilstande. (Når to operatorer pendler, har de et samtidig sæt egentilstande til fælles (også kaldet degeneration) og de to observerbare data kan måles samtidigt med en vilkårlig præcision. Sådan er det altid med klassisk mekanik.)
  • Dette er kilden til usikkerhedsprincippet. Det er ikke på grund af vores instrumenters begrænsninger, at vi ikke kan måle positionen og momentum af en partikel med en vilkårlig præcision. Det er snarere en grundlæggende egenskab ved partiklerne selv.

  • Оцените, пожалуйста статью