


Dette er en Gauss, centreret om
Vi udnytter, at denne funktion endda er til at forenkle vores beregninger i næste del. Hvis du skriver integralet ud, som du skulle evaluere, ser du, at integranden er en ulige funktion, fordi en ulige funktion gange en lige funktion er ulige. 
En egenskab ved en ulige funktion er, at for hver positiv værdi af funktionen er der en dobbeltganger - en tilknyttet negativ værdi - der annullerer funktionen. Da vi har alle værdier af
evaluere, ved vi, at integralet bliver 0, uden at vi skal lave beregningerne. 









Vores resultater er i overensstemmelse med usikkerhedsprincippet. Faktisk opnår dette forhold kun grundtilstandslighed – hvis man antager en højere energitilstand, øges usikkerheden af position og momentum kun. Det viser sig, at denne kommuteringsrelation må indebære et grundlæggende usikkerhedsprincip. Når en operatør
virker på en tilstand, så kollapser bølgefunktionen til egentilstanden af
med et unikt mål (egenværdien). Imidlertid er egentilstanden af
behøver ikke at være en egentilstand for en anden operator
Hvis det er tilfældet, så er der ikke noget unikt mål for de observerbare data
betyder, at tilstanden kun kan skrives som en lineær kombination af momentum-baserede egentilstande. (Når to operatorer pendler, har de et samtidig sæt egentilstande til fælles (også kaldet degeneration) og de to observerbare data kan måles samtidigt med en vilkårlig præcision. Sådan er det altid med klassisk mekanik.) Dette er kilden til usikkerhedsprincippet. Det er ikke på grund af vores instrumenters begrænsninger, at vi ikke kan måle positionen og momentum af en partikel med en vilkårlig præcision. Det er snarere en grundlæggende egenskab ved partiklerne selv.
Verifikation af usikkerhedsprincippet for en kvanteharmonisk oscillator
Indhold
Den kvanteharmoniske oscillator er kvanteanalogien af den klassiske simple harmoniske oscillator. Ved hjælp af grundtilstandsløsningen tager vi position og forventede impulsværdier og tjekker usikkerhedsprincippet med det.
Trin
Del 1 af 3: En grundtilstandsløsning
1. Husk Schrödinger-ligningen. Denne partielle differentialligning er den grundlæggende bevægelsesligning inden for kvantemekanikken, der beskriver, hvordan en kvantetilstand
udvikler sig over tid.
betegner Hamiltonian, energioperatøren, der beskriver den samlede energi i et system.
2. Skriv Hamiltonianeren for den harmoniske oscillator. Selvom positions- og momentumvariablerne er blevet erstattet af deres tilsvarende operatorer, ligner udtrykket stadig den kinetiske og potentielle energi af en klassisk harmonisk oscillator. Da vi arbejder i fysiske rum, er operatørstillingen givet af
mens impulsoperatøren er givet af 
3. Skriv den tidsuafhængige Schrödinger-ligning. Vi ser, at Hamiltonianeren ikke eksplicit afhænger af tid, så løsningerne af ligningen vil være uforanderlige tilstande. Den tidsuafhængige Schrödinger-ligning er en ligning for egenværdien, så at løse den betyder, at vi finder energiegenværdierne og deres tilsvarende egenfunktioner -- bølgefunktionerne --.
4. Løs differentialligningen. Denne differentialligning har variable koefficienter og kan ikke let løses med simple metoder. Efter normalisering kan grundtilstandsløsningen dog skrives som:. Husk at denne løsning kun beskriver en endimensionel oscillator.
Del 2 af 3: Forventningsværdier
1. Husk formlen for usikkerhed. Usikkerheden for en observerbar værdi, såsom en position, er matematisk lig standardafvigelsen. Det vil sige, vi bestemmer middelværdien, trækker hver værdi fra middelværdien, kvadrerer disse værdier og beregner middelværdien og trækker derefter kvadratroden af resultatet fra.
2. Bestemme køn x køn {displaystyle langle xrangle }
. Da funktionen er lige, kan vi ud fra symmetrien udlede, at 
3. Beregn køn x 2 køn {displaystyle langle x^{2}rangle }
. Da vores løsning er skrevet som en kontinuerlig bølgefunktion, bruger vi nedenstående integral. Integralet beskriver den forventede værdi for
, integreret over hele rummet.
4. Erstat bølgefunktionen i integralet og forenkle. Vi ved, at bølgefunktionen er lige. Kvadratet af en lige funktion er også lige, så vi kan tage en faktor 2 uden for parentesen og sænke den nedre grænse til 0.
5. Vurdere. Vær den første til
Så integrerer vi ikke per del, men vi bruger gammafunktionen.
6. Kom frem til usikkerheden i position. Ved at bruge det forhold, vi udarbejdede i trin 1 i dette afsnit, følger det
umiddelbart fra vores resultater.
7. Bestemme køn s køn {displaystyle langle prangle }
. Som med middelpositionen kan der laves et symmetriargument, der fører til
.
8. Beregn køn s 2 køn {displaystyle langle p^{2}rangle }
. I stedet for direkte at anvende bølgefunktionen til at beregne denne forventningsværdi, kan vi bruge bølgefunktionens energi til at forenkle de nødvendige beregninger. Grundtilstandsenergien for den harmoniske oscillator er angivet nedenfor.
9. Forbind grundtilstandens energi med partiklens kinetiske og potentielle energi. Det forventes, at denne relation ikke kun gælder for enhver position og impuls, men også for deres forventningsværdier.
10. Løs for køn s 2 køn {displaystyle langle p^{2}rangle }
.
11. Kom frem til usikkerheden i dynamikken.
Del 3 af 3: Verifikation af usikkerhedsforholdet
1. Overvej Heisenbergs usikkerhedsprincip for position og momentum. Usikkerhedsrelationen er en grundlæggende grænse for den præcision, hvormed vi kan måle visse par observerbare data, såsom position og momentum. Tjek tipsene for mere baggrund om usikkerhedsprincippet.
2. Erstat usikkerheden i den kvanteharmoniske oscillator.
Tips
- Der er to måder, hvorpå vi kan forklare spørgsmålet om, hvorfor usikkerhedsforholdet eksisterer.
- Fra bølgemekanikken er bølgefunktionens udtryk med hensyn til position og dynamik Fourier-transformationer af hinanden. En egenskab ved Fourier-transformationen er, at en funktion og dens Fourier-transformation ikke begge er entydigt lokaliserede.
- Et simpelt eksempel er Fourier-transformationen af den rektangulære funktion. Efterhånden som funktionens bredde falder (bliver mere lokaliseret), så bliver Fourier-transformationen (en sinuskurve) fladere og fladere. Et ekstremt eksempel er Dirac delta-funktionen, hvor bredden er uendelig lille (perfekt lokalitet). Fourier-transformationen er en konstant (uendelig usikkerhed).
- Den anden måde at se det på er fra matrixmekanik. Positions- og momentumoperatorerne har en kommuteringsrelation, der ikke er nul. Hvis to operatorer pendler, vil deres kommuteringsrelation være nul, som angivet i parentesen nedenfor.
Artikler om emnet "Verifikation af usikkerhedsprincippet for en kvanteharmonisk oscillator"
Оцените, пожалуйста статью
Lignende
Populær