Sådan finder du afledningen af kvadratroden af x

Indhold

Trin

Hvis du tog matematik i skolen, skal du have lært potensreglen til at bestemme den afledede af simple funktioner. Men når funktionen indeholder en kvadratrod eller radikal, som f.eks $\sqrt{x}$ ${sqrt{x}}$ , så synes magtens regel svær at anvende. Ved at bruge en simpel substitution af eksponenter bliver det meget let at bestemme den afledede af en sådan funktion. Du kan derefter anvende den samme substitution og bruge kædereglen til at finde den afledede af mange andre funktioner med rødder.

Trin

Metode 1 af 3: Anvendelse af magtreglen

1. Se igen på magtreglen for derivater. Den første regel, du sikkert har lært for at finde derivater, er magtens regel. Denne regel siger det for en variabel

x

$x$ i magten af et tal

-en

$-en$ , er den afledte og beregnes som følger:

$f (x) = x -en$ ${displaystyle f(x)=x^{a}}$
$f køn (x) = -en x^{-en - 1}$ ${displaystyle f^{prime }(x)=ax^{a-1}}$
Tag et kig på følgende eksempelfunktioner og deres derivater:

hvis $f (x) = x 2$ ${displaystyle f(x)=x^{2}}$ , derefter $f køn (x) = 2 x$ ${displaystyle f^{prime }(x)=2x}$
hvis $f (x) = 3 x 2$ ${displaystyle f(x)=3x^{2}}$ , derefter $f køn (x) = 2 * 3 x = 6 x$ ${displaystyle f^{prime }(x)=2*3x=6x}$
hvis $f (x) = x 3$ ${displaystyle f(x)=x^{3}}$ , derefter $f køn (x) = 3 x^{2}$ ${displaystyle f^{prime }(x)=3x^{2}}$
hvis $f (x) = \frac{1}{2} x^{4}$ ${displaystyle f(x)={frac {1}{2}}x^{4}}$ , derefter $f køn (x) = 4 * \frac{1}{2} x^{3} = 2 x^{3}$ ${displaystyle f^{prime }(x)=4*{frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}}$

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 2

2. Omskriv kvadratroden som eksponent. For at finde den afledede af en kvadratrodsfunktion skal du huske, at kvadratroden af et tal eller en variabel også kan skrives som en eksponent. Udtrykket under radikalet er skrevet som en base, og hæves til magten 1/2. Udtrykket bruges også som eksponent for kvadratroden. Se følgende eksempler igennem:

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {x}}=x^{frac {1}{2}}}$

\sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {4}}=4^{frac {1}{2}}}$

\sqrt{3 x} = (3 x)^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {3x}}=(3x)^{frac {1}{2}}}$

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 3

3. Anvend magtens regel. Hvis funktionen er den enkleste kvadratrod,

f (x) = \sqrt{x}

${displaystyle f(x)={sqrt {x}}}$ , Anvend derefter potensreglen som følger for at finde den afledede:

f (x) = \sqrt{x}

${displaystyle f(x)={sqrt {x}} }$ (Skriv den oprindelige funktion ned.)

f (x) = x (\frac{1}{2})

${displaystyle f(x)=x^{({frac {1}{2}})} }$ (Omskriv roden som en eksponent.)

f køn (x) = \frac{1}{2} x^{(\frac{1}{2} - 1)}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{({frac {1}{2}}-1)} }$ (Find den afledede ved hjælp af potensreglen.)

f køn (x) = \frac{1}{2} x^{(- \frac{1}{2})}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{(-{frac {1}{2}})} }$ (Forenkle eksponenten.)

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 4

4. Forenkle resultatet. På dette stadium skal du vide, at en negativ eksponent betyder, at du tager det omvendte af, hvad der ville være tallet med den positive eksponent. Eksponenten for

- \frac{1}{2}

${displaystyle -{frac {1}{2}}}$ betyder, at kvadratroden af grundfladen bliver nævneren af en brøk.

Fortsætter man med kvadratroden af funktionen x ovenfra, kan den afledede forenkles som følger:

f køn (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{-{frac {1}{2}}}}$

f køn (x) = \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{x}}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}*{frac {1}{sqrt {x}}}}$

f køn (x) = 12 \sqrt{x}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2{sqrt {x}}}}}$

Metode 2 af 3: Anvendelse af kædereglen for kvadratrodsfunktioner

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 5

1. Revider kædereglen for funktioner. Kædereglen er en regel for afledte værdier, som du bruger, når den oprindelige funktion kombinerer en funktion i en anden funktion. Det siger kædereglen for to funktioner

f (x)

$f(x)$ og

g (x)

${displaystyle g(x)}$ , den afledte af kombinationen af de to funktioner kan findes som følger:

hvis $y = f (g (x))$ ${displaystyle y=f(g(x))}$ , derefter $y køn = f^{køn} (g) * g^{køn} (x)$ ${displaystyle y^{prime }=f^{prime }(g)*g^{prime }(x)}$ .

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 6

2. Definer kæderegelfunktionerne. Brug af kædereglen kræver, at du først definerer de to funktioner, der udgør din kombinerede funktion. For kvadratrodsfunktioner er den yderste funktion

f (g)

${displaystyle f(g)}$ kvadratrodsfunktionen og den inderste funktion

g (x)

${displaystyle g(x)}$ funktionen under det radikale.

For eksempel: antag, at du har den afledte af

\sqrt{3 x + 2}

${displaystyle {sqrt {3x+2}}}$ ønsker at finde. Definer derefter de to dele som følger:

f (g) = \sqrt{g} = g^{\frac{1}{2}}

${displaystyle f(g)={sqrt {g}}=g^{frac {1}{2}}}$

g (x) = (3 x + 2)

${displaystyle g(x)=(3x+2)}$

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 7

3. Find de afledte funktioner af de to funktioner. For at anvende kædereglen på kvadratroden af en funktion, skal du først finde den afledede af den generelle kvadratrodsfunktion:

f (g) = \sqrt{g} = g^{\frac{1}{2}}

${displaystyle f(g)={sqrt {g}}=g^{frac {1}{2}}}$

f køn (g) = \frac{1}{2} g^{- \frac{1}{2}}

${displaystyle f^{prime }(g)={frac {1}{2}}g^{-{frac {1}{2}}}}$

f køn (g) = 12 \sqrt{g}

${displaystyle f^{prime }(g)={frac {1}{2{sqrt {g}}}}}$

Bestem derefter den afledede af den anden funktion:

g (x) = (3 x + 2)

${displaystyle g(x)=(3x+2)}$

g køn (x) = 3

${displaystyle g^{prime }(x)=3}$

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 8

4. Kombiner funktionerne i kædereglen. Kædereglen er

y køn = f^{køn} (g) * g^{køn} (x)

${displaystyle y^{prime }=f^{prime }(g)*g^{prime }(x)}$ . Kombiner derivaterne som følger:

y køn = 12 \sqrt{g} * 3

${displaystyle y^{prime }={frac {1}{2{sqrt {g}}}}*3}$

y køn = 12 \sqrt{(3 x + 2} * 3

${displaystyle y^{prime }={frac {1}{2{sqrt {(3x+2}}}}*3}$

y køn = 32 \sqrt{(3 x + 2}

${displaystyle y^{prime }={frac {3}{2{sqrt {(3x+2}}}}}$

Metode 3 af 3: Find hurtigt de afledte rodfunktioner

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 9

1. Bestem afledte af en kvadratrodsfunktion ved hjælp af en hurtig metode. Når du vil finde den afledede af kvadratroden af en variabel eller en funktion, kan du anvende en simpel regel: Den afledede vil altid være den afledede af tallet under radikalet divideret med det dobbelte af den oprindelige kvadratrod. Symbolsk kan dette repræsenteres som:

hvis $f (x) = \sqrt{du}$ ${displaystyle f(x)={sqrt {u}}}$ , derefter $f køn (x) = du køn 2 \sqrt{du}$ ${displaystyle f^{prime }(x)={frac {u^{prime }}{2{sqrt {u}}}}}$

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 10

2. Find den afledede af tallet under radikalet. Dette er et tal eller en funktion under kvadratrodstegnet. For at bruge denne hurtige metode skal du blot finde den afledede af tallet under radikalet. Tjek følgende eksempler:

I funktionen

\sqrt{5 x + 2}

${displaystyle {sqrt {5x+2}}}$ , er rodnummeret

(5 x + 2)

${displaystyle (5x+2)}$ . Den afledte er

5

$5$ .

I funktionen

\sqrt{3 x} 4

${displaystyle {sqrt {3x^{4}}}}$ , er rodnummeret

3 x 4

${displaystyle 3x^{4}}$ . Den afledte er

12 x 3

${displaystyle 12x^{3}}$ .

I funktionen

\sqrt{s jeg n (x)}

${displaystyle {sqrt {sin(x)}}}$ , er rodnummeret

synd (x)

${displaystyle sin(x)}$ . Den afledte er

\cos (x)

${displaystyle cos(x)}$ .

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 11

3. Skriv den afledede af rodtallet som tæller for en brøk. Den afledte af en kvadratrodsfunktion vil indeholde en brøk. Tælleren for denne brøk er den afledede af rodtallet. Så i eksempelfunktionerne ovenfor vil den første del af den afledede se sådan ud:

hvis

f (x) = \sqrt{5 x + 2}

${displaystyle f(x)={sqrt {5x+2}}}$ , derefter

f køn (x) = \frac{5}{nævner}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {5}{tekst{nævner}}}}$

hvis

f (x) = \sqrt{3 x} 4

${displaystyle f(x)={sqrt {3x^{4}}}}$ , derefter

f køn (x) = 12 x 3 nævner

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {12x^{3}}{tekst{nævner}}}}$

hvis

f (x) = \sqrt{synd (x)}

${displaystyle f(x)={sqrt {sin(x)}}}$ , derefter

f køn (x) = \cos (x) nævner

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {cos(x)}{tekst{nævner}}}}$

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 12

4. Skriv nævneren som dobbelt den oprindelige kvadratrod. Med denne hurtige metode er nævneren det dobbelte af den oprindelige kvadratrodsfunktion. Så i de tre eksempelfunktioner ovenfor er nævnerne for de afledte:

hvis

f (x) = \sqrt{5 x + 2}

${displaystyle f(x)={sqrt {5x+2}}}$ , derefter

f køn (x) = tæller 2 \sqrt{5 x + 2}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{tæller}}{2{sqrt {5x+2}}}}}$

hvis

f (x) = \sqrt{3 x} 4

${displaystyle f(x)={sqrt {3x^{4}}}}$ , derefter

f køn (x) = tæller 2 \sqrt{3 x} 4

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{tæller}}{2{sqrt {3x^{4}}}}}}}$

hvis

f (x) = \sqrt{synd (x)}

${displaystyle f(x)={sqrt {sin(x)}}}$ , derefter

f køn (x) = tæller 2 \sqrt{synd (x)}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{tæller}}{2{sqrt {sin(x)}}}}}$

Billede med titlen Differentiate the Square Root of X Trin 13

5. Kombiner tæller og nævner for at finde den afledede. Sæt de to halvdele af brøken sammen, og resultatet bliver den afledede af den oprindelige funktion.

hvis