Find det omvendte af en firsidet ligning

Indhold

Trin

Inverse funktioner kan være meget nyttige til at løse mange matematiske problemer. At kunne tage en funktion og finde dens omvendte funktion er et stærkt værktøj. Men med andengradsligninger kan dette være en ret kompliceret proces. Først skal du omhyggeligt definere ligningen ved at bestemme et passende domæne og område. Du kan derefter vælge mellem tre metoder til at beregne den inverse funktion. Valget af metode er primært et spørgsmål om personlig præference.

Trin

Metode 1 af 3: Find det omvendte af en simpel funktion

1. Find en funktion i form af y=-enx2+c{displaystyle y=ax^{2}+c} ${displaystyle y=ax^{2}+c}$ . Hvis du har den `rigtige` slags funktion til at starte med, kan du finde det omvendte med en simpel algebra. Denne form er en slags variation på

y = -en x 2 + c

${displaystyle y=ax^{2}+c}$ . Hvis du sammenligner dette med en standard kvadratisk funktion,

y = -en x 2 + b x + c

${displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ , se, at mellemlang sigt

b x

${displaystyle bx}$ mangler. En anden måde at sige dette på er, at værdien af b er nul. Hvis din funktion har denne form, er det ret nemt at finde det omvendte.

Din oprindelige funktion behøver ikke at ligne nøjagtigt $y = -en x 2 + c$ ${displaystyle y=ax^{2}+c}$ . Så længe du kan se på det og se, at funktionen kun består af $x 2$ $x^{2}$ led og konstante tal, vil du kunne bruge denne metode.
Antag, at du starter med ligningen $2 y - 6 + x 2 = y + 3 x^{2} - 4$ ${displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}$ . En hurtig undersøgelse af denne ligning afslører, at der ikke er nogen vilkår for $x$ $x$ at være til den første magt. Denne ligning er en kandidat til denne metode til at finde en invers funktion.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 2

2. Forenkle ved at kombinere ens udtryk. Den indledende ligning kan have flere led i en kombination af addition og subtraktion. Dit første skridt er at kombinere lignende udtryk for at forenkle ligningen og omskrive den i standardformatet

y = -en x 2 + c

${displaystyle y=ax^{2}+c}$ .

Tag eksemplet sammenligning

2 y - 6 + x 2 = y + 3 x^{2} - 4

${displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}$ , hvor y-leddene kan flyttes til venstre ved at trække et y fra begge sider. De øvrige led kan flyttes til højre ved at tilføje 6 på begge sider og

x 2

$x^{2}$ at trække af fra begge sider. Den resulterende ligning er

y = 2 x 2 + 2

${displaystyle y=2x^{2}+2}$ .

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 3

3. Bestem den forenklede funktions domæne og rækkevidde. Husk, at domænet af en funktion består af de mulige værdier af x, der kan anvendes til at give en reel løsning. Området for en funktion består af værdierne af y, der vil returnere. For at bestemme funktionens domæne skal du kigge efter værdier, der giver et matematisk umuligt resultat. Du angiver derefter domænet, hvis alle andre værdier af x. For at finde intervallet skal du overveje værdierne af y ved vilkårlige grænsepunkter og se på funktionens opførsel.

Se eksempelsammenligningen

y = 2 x 2 + 2

${displaystyle y=2x^{2}+2}$ . Der er ingen begrænsning på de tilladte værdier af x for denne ligning. Du skal dog indse, at dette er ligningen for en parabel, med x=0 som centrum, og en parabel er ikke en funktion, fordi den ikke er en en-til-en sammenligning af x- og y-værdier. For at begrænse denne ligning og gøre den til en funktion, for hvilken vi kan finde en invers, skal vi definere domænet som x≥0.

Udvalget er på samme måde begrænset. Bemærk, at den første term,

2 x 2

${displaystyle 2x^{2}}$ , vil altid være positiv eller 0 for enhver værdi af x. Så hvis ligningen tilføjer +2, vil området være en hvilken som helst værdi y≥2.

Det er nødvendigt at definere domænet og omfanget på dette tidlige stadium. Du vil bruge disse definitioner senere, når du definerer domænet og omfanget af den inverse funktion. Faktisk bliver den oprindelige funktions domæne området for den omvendte funktion, og området for den oprindelige funktion bliver domænet for den omvendte funktion.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 4

4. Byt rollerne for x- og y-leddet. Uden at ændre ligningen på anden måde, skal du erstatte alle former af y med x, og alle former af x med y. Dette er det trin, der faktisk `inverterer` ligningen.

Arbejder med eksempelsammenligningen

y = 2 x 2 + 2

${displaystyle y=2x^{2}+2}$ , dette inversionstrin vil resultere i den nye ligning af

x = 2 y 2 + 2

${displaystyle x=2y^{2}+2}$ .

Et alternativt format er at erstatte y-leddet med x, men erstatte x-leddet med enten

y - 1

${displaystyle y^{-}1}$ eller

f (x) - 1

${displaystyle f(x)^{-}1}$ for at angive den omvendte funktion.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 5

5. Omskriv den omvendte ligning i form af y. Ved at bruge en kombination af algebraiske trin og sikre, at den samme operation udføres på begge sider af ligningen, bliver du nødt til at isolere variablen y. Til sammenligningen

x = 2 y 2 + 2

${displaystyle x=2y^{2}+2}$ , denne revision ser sådan ud:

x = 2 y 2 + 2

${displaystyle x=2y^{2}+2}$ (oprindelig præmis)

x - 2 = 2 y 2

${displaystyle x-2=2y^{2}}$ (træk 2 fra på begge sider)

x - 2 2 = y^{2}

${displaystyle {frac {x-2}{2}}=y^{2}}$ (divider begge sider med 2)

\sqrt{} x - 2 2 = y

${displaystyle {sqrt {frac {x-2}{2}}}=y}$ (kvadratrod af begge sider; husk at kvadratroden resulterer i både positive og negative mulige svar)

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 6

6. Bestem domænet og området for den inverse funktion. Som i begyndelsen skal du undersøge den omvendte ligning for at bestemme domænet og området. Med to mulige løsninger skal du vælge den løsning, der har et domæne og område, der er det omvendte af det oprindelige domæne og område.

Se løsningen af eksempelligningen ±

\sqrt{} x - 2 2 = y

${displaystyle {sqrt {frac {x-2}{2}}}=y}$ . Da kvadratrodsfunktionen ikke er defineret for negative værdier, skal udtrykket . være

x - 2 2

${displaystyle {frac {x-2}{2}}}$ altid være positiv. Derfor skal de tilladte værdier for x (domænet) være x≥2. Med det som domæne er de resulterende værdier af y (området) enten alle værdier y≥0, hvis du tager den positive løsning af kvadratroden, eller y≤0, hvis du tager den negative løsning af kvadratroden. Bemærk, at for at finde den inverse funktion, definerede du oprindeligt domænet som x≥0. Derfor er den korrekte løsning for den omvendte funktion den positive mulighed.

Sammenlign domænet og intervallet for det omvendte med domænet og intervallet for originalen. Husk det for den oprindelige funktion,

y = 2 x 2 + 2

${displaystyle y=2x^{2}+2}$ , domænet blev defineret som alle værdier af x≥0, og området blev defineret som alle værdier af y≥2. For den inverse funktion bytter disse værdier nu, og domænet er alle værdier af x≥2, og området er alle værdier af y≥0.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 7

7. Tjek om din omvendte funktion virker. For at sikre, at dit arbejde er korrekt, og din inverse er den rigtige ligning, skal du vælge en værdi for x og placere den i den oprindelige ligning for at finde y. Sæt derefter værdien af y i stedet for x i din omvendte ligning, og se om du får det tal, du startede med. Hvis ja, er din omvendte funktion korrekt.

Som et eksempel, vælg værdien x=1 for den oprindelige ligning

y = 2 x 2 + 2

${displaystyle y=2x^{2}+2}$ . Dette giver resultatet y=4.

Så sætter du værdien 4 i den inverse funktion

\sqrt{} x - 2 2 = y

${displaystyle {sqrt {frac {x-2}{2}}}=y}$ . Dette giver faktisk resultatet y=1. Du kan konkludere, at din inverse funktion er korrekt.

Metode 2 af 3: Udfyld kvadratet for at finde den inverse funktion

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 8

1. Giv andengradsligningen den rigtige form. For at finde det omvendte skal du starte med formens ligning

f (x) = -en x 2 + b x + c

${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ . Hvis det er nødvendigt, skal du kombinere lignende udtryk for at få ligningen i dette format. Med ligningen skrevet på denne måde, kan du fortælle lidt mere om den.

Det første du vil bemærke er værdien af koefficienten a. hvis en>0, så definerer ligningen en parabel, hvis ender peger opad (dalparabel). hvis en<0, så definerer ligningen en parabel, hvis ender peger nedad (bjergparabel). Bemærk, at a≠0. Hvis det ikke var, ville dette være en lineær funktion og ikke en kvadratisk.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 9

2. Genkend standardformatet for kvadratisk. Før du kan finde den inverse funktion, skal du omskrive ligningen i standardformatet. Standardformatet for en kvadratisk funktion er

f (x) = -en (x - h) 2 + k

${displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}$ . De numeriske led a, h og k vil blive evalueret, hvis du transformerer ligningen ved at beregne kvadratet.

Bemærk, at denne standardform består af et perfekt kvadratisk udtryk,

(x - h) 2

${displaystyle (x-h)^{2}}$ , som så modificeres af de to andre elementer a og k. For at nå frem til denne perfekte andengradsform skal du skabe visse betingelser i din andengradsligning.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 10

3. Tænk tilbage på formen af en perfekt kvadratisk funktion. Husk på, at en andengradsfunktion, der er et perfekt kvadrat, opstår fra to binomialer af

(x + b) (x + b)

${displaystyle (x+b)(x+b)}$ , eller

(x + b) 2

${displaystyle (x+b)^{2}}$ . Hvis du gør denne multiplikation, får du

x 2 + 2 b x + b^{2}

${displaystyle x^{2}+2bx+b^{2}}$ . Så det første led i andengraden er det første led i binomialet, i anden kvadrat, og det sidste led i andengraden er kvadratet af det andet led i binomialet. Mellemleddet består af to gange produktet af de to led, i dette tilfælde

2 * x * b

${displaystyle 2*x*b}$ .

For at færdiggøre firkanten, arbejd baglæns. Du starter med

x 2

$x^{2}$ og en anden x-termin. Fra koefficienten for det udtryk, som du kan definere som `2b`, skal du få

b 2

${displaystyle b^{2}}$ se at finde. Dette kræver en kombination af at dividere med to og derefter kvadrere det resultat.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 11

4. Sørg for, at koefficienten på x2{displaystyle x^{2}} $x^{2}$ 1 er. Kan du huske den oprindelige form af den kvadratiske funktion

-en x 2 + b x + c

${displaystyle ax^{2}+bx+c}$ . Hvis den første koefficient er noget andet end 1, skal du dividere alle led med denne værdi for at få a=1.

Tag for eksempel den kvadratiske funktion

f (x) = 2 x 2 + 6 x - 4

${displaystyle f(x)=2x^{2}+6x-4}$ . Du kan forenkle dette ved at dividere alle led med 2 for at få den resulterende funktion

f (x) = 2 (x 2 + 3 x - 2)

${displaystyle f(x)=2(x^{2}+3x-2)}$ at få. Koefficienten 2 forbliver uden for parenteserne og vil være en del af din endelige løsning.

Hvis alle led ikke er multipla af a, får du brøkkoefficienter. For eksempel: funktionen

f (x) = 3 x 2 - 2 x + 6

${displaystyle f(x)=3x^{2}-2x+6}$ vil blive forenklet til

f (x) = 3 (x 2 - 2 x 3 + 2)

${displaystyle f(x)=3(x^{2}-{frac {2x}{3}}+2)}$ . Regn brøkerne omhyggeligt ud.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 12

5. Find halvdelen af den midterste koefficient og firkant den. Du har allerede de to første led i den kvadratiske formel. Disse er udtrykket

x 2

$x^{2}$ og koefficienten, der repræsenterer x-leddet. Ved at tage denne koefficient som den værdi, den har, kan du tilføje eller trække det tal, der er nødvendigt for at lave et perfekt kvadrat. Husk ovenfra, at det krævede tredje led i kvadratet er denne anden koefficient divideret med to og derefter i anden.

For eksempel, hvis de to første led i din kvadratiske funktion

x 2 + 3 x

${displaystyle x^{2}+3x}$ du finder det nødvendige tredje led ved at dividere 3 med 2 (eller 3/2) og derefter kvadrere det for at få 9/4. Den kvadratiske

x 2 + 3 x + 9 / 4

${displaystyle x^{2}+3x+9/4}$ er en perfekt firkant.

Et andet eksempel: antag de to første led

x 2 - 4 x

${displaystyle x^{2}-4x}$ er. Halvdelen af mellemleddet er -2, og så kvadrerer du det for at få 4. Den resulterende perfekte firkant er

x 2 - 4 x + 4

${displaystyle x^{2}-4x+4}$ .

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 13

6. Tilføj og træk fra den påkrævede tredje term på samme tid. Dette er et vanskeligt koncept, men det virker. Tilføjelse og subtrahering af det samme tal forskellige steder i din funktion ændrer ikke rigtigt værdien af funktionen. Men ved at gøre dette får du din funktion i ordentlig form.

Antag at du har funktionen

f (x) = x 2 - 4 x + 9

${displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}$ . Som nævnt ovenfor bruger du de to første led til at fuldføre firkanten. Ved at bruge mellemleddet på -4x genererer du et tredje led +4. Tilføj 4 og træk 4 fra ligningen i formen

f (x) = (x 2 - 4 x + 4) + 9 - 4

${displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+9-4}$ . Parenteserne er kun placeret for at definere den andengradsligning, du laver. Bemærk +4 inde i beslagene og -4 på ydersiden. Forenkle tallene til resultatet

f (x) = (x 2 - 4 x + 4) + 5

${displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5}$ .

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 14

7. Faktorer den andengradsligning. Polynomiet i parentes er en andengradsligning, som du kan omskrive som

(x + b) 2

${displaystyle (x+b)^{2}}$ . I eksemplet fra forrige trin (

f (x) = (x 2 - 4 x + 4) + 5

${displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5}$ ) du indregner den kvadratiske faktor

(x - 2) 2

${displaystyle (x-2)^{2}}$ . Kopier resten af ligningen, så din løsning

f (x) = (x - 2) 2 + 5

${displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}$ er ved at blive. Dette er den samme funktion som din oprindelige andengradsligning (

f (x) = x 2 - 4 x + 9

${displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}$ ), omskrevet som standardformularen

f (x) = -en (x - h) 2 + k

${displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}$ .

Bemærk, at for denne funktion a=1, h=2 og k=5. Værdien af at skrive ligningen på denne form er, at en, fordi den er positiv, fortæller dig, at parablen peger opad. Værdierne (h, k) angiver toppunktet i bunden af parablen, hvis du ville tegne det.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 15

8. Definer funktionens domæne og omfang. Domænet er det sæt af x-værdier, der kan bruges som input til funktionen. Området er det sæt af y-værdier, der kan være resultatet. Husk på, at en parabel ikke er en funktion med en definerbar invers, fordi der ikke er nogen en-til-en sammenhæng mellem x-værdier og y-værdier på grund af parablens symmetri. For at løse dette problem skal du definere domænet som alle værdier af x, der er større end x=h, parablens toppunkt.

Fortsæt med at arbejde med preview-funktionen

f (x) = (x - 2) 2 + 5

${displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}$ . Da dette er i standardformat, kan du bestemme toppunktet som x=2, y=5. Så for at undgå symmetrien arbejder du kun med højre side af grafen og indstiller domænet hvis alle værdier x≥2. Indsættelse af værdien x=2 i funktionen returnerer y=5. Du kan se, at værdierne af y vil stige, når x stiger. Derfor er området for denne ligning y≥5.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 16

9. Skift x- og y-værdierne. Dette er det trin, hvor du starter med at finde den omvendte form af ligningen. Lad ligningen være i sin helhed undtagen at bytte disse variable.

Fortsæt med at arbejde med funktionen

f (x) = (x - 2) 2 + 5

${displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}$ . Indsæt x i stedet for f(x), og indsæt y (eller f(x), hvis du foretrækker det) i stedet for x. Dette giver som en ny funktion

x = (y - 2) 2 + 5

${displaystyle x=(y-2)^{2}+5}$ .

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 17

10. Omskriv den omvendte ligning i form af y. Brug en kombination af algebraiske trin, og sørg for at udføre den samme operation jævnt på begge sider af ligningen, isoler variablen y. Til arbejdssammenligningen

x = (y - 2) 2 + 5

${displaystyle x=(y-2)^{2}+5}$ denne revision ser sådan ud:

x = (y - 2) 2 + 5

${displaystyle x=(y-2)^{2}+5}$ (oprindeligt udgangspunkt)

x - 5 = (y - 2) 2

${displaystyle x-5=(y-2)^{2}}$ (træk 5 fra begge sider)

\sqrt{x - 5} = y - 2

${displaystyle {sqrt {x-5}}=y-2}$ (kvadratrod af begge sider; husk at kvadratroden giver både positive og negative mulige svar)

\sqrt{x - 5} + 2 = y

${displaystyle {sqrt {x-5}}+2=y}$ (tilføj 2 til begge sider)

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 18

11. Bestem domænet og området for den inverse funktion. Som i begyndelsen skal du undersøge den omvendte ligning for at bestemme domænet og området. Med to mulige løsninger skal du vælge den løsning, der har et domæne og område, der er det omvendte af det oprindelige domæne og område.

Se løsningen af eksempelligningen ±

\sqrt{x - 5} + 2 = y

${displaystyle {sqrt {x-5}}+2=y}$ . Da kvadratrodsfunktionen ikke er defineret for negative værdier, skal udtrykket . være

x - 5

${displaystyle {x-5}}$ altid være positiv. Derfor skal de tilladte værdier for x (domænet) være x≥5. Med det som domæne er de resulterende værdier af y (området) enten alle værdier y≥2 (hvis du tager den positive løsning af kvadratroden), eller y≤2 (hvis du vælger den negative løsning af kvadratroden). Husk, at du oprindeligt definerede domænet som x≥2, for at finde den inverse funktion. Derfor er den korrekte løsning for den omvendte funktion den positive mulighed.

Sammenlign domænet og intervallet for det omvendte med domænet og intervallet for originalen. Husk på, at for den oprindelige funktion var domænet defineret som alle værdier af x≥2, og området blev defineret som alle værdier af y≥5. For denne inverse funktion bytter disse værdier, og domænet er nu alle værdier af x≥5, og området er alle værdier af y≥2.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 19

12. Tjek om din omvendte funktion virker. For at sikre, at dit arbejde er korrekt, og din inverse er den rigtige ligning, skal du vælge en værdi for x og placere den i den oprindelige ligning for at finde y. Sæt derefter værdien af y i stedet for x i din omvendte ligning, og se om du får det tal, du startede med. Hvis ja, så er din omvendte funktion korrekt.

Som et eksempel, vælg værdien x=3, der skal inkluderes i den oprindelige ligning

f (x) = x 2 - 4 x + 9

${displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}$ at behandle. Dette giver resultatet y=6.

Så behandler du y=6 i den inverse funktion

\sqrt{x - 5} + 2 = y

${displaystyle {sqrt {x-5}}+2=y}$ . Dette returnerer y=3, som er det tal, du startede med. Du kan konkludere, at din inverse funktion er korrekt.

Metode 3 af 3: Brug af kvadratformlen

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 20

1. Brug den kvadratiske formel til at løse x. Husk, når du løser andengradsligninger, er der én metode til at faktorisere dem (hvis det er muligt). Hvis factoring ikke virkede, kunne du bruge kvadratformlen, som ville give de rigtige løsninger til enhver andengradsligning. Du kan også bruge kvadratformlen som en metode til at finde inverse funktioner.

Kvadratformlen er x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a.
Bemærk, at kvadratformlen giver to mulige løsninger, en positiv og en negativ. Du træffer dette valg baseret på at bestemme funktionens domæne og omfang.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 21

2. Start med en andengradsligning for at finde det omvendte. Din andengradsligning skal starte i formatet

f (x) = -en x 2 + b x + c

${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ . Tag de algebraiske trin, der er nødvendige for at få din ligning i den form.

Til dette afsnit af denne artikel skal du bruge eksempelligningen

f (x) = x 2 + 2 x - 3

${displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}$ .

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 22

3. Plot ligningen for at bestemme domænet og området. Tegn grafen til funktionen, enten ved hjælp af en grafregner eller plot flere punkter, indtil du kan tegne parablen. Du vil se, at denne ligning definerer en parabel med det højeste punkt ved (-1,-4). Så for at definere dette som en funktion, der vil have en invers, definerer du domænet som alle værdier af x≤-1. Området er så alle værdier y≥-4.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 23

4. Skift variablerne x og y. For at finde den inverse, skift variablerne x og y. Lad ligningen være uændret, undtagen skift variablerne. På dette stadium skal du erstatte x med f(x).

Baseret på arbejdsligningen

f (x) = x 2 + 2 x - 3

${displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}$ , giver dette resultatet

x = y 2 + 2 y - 3

${displaystyle x=y^{2}+2y-3}$ .

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 24

5. Indstil venstre side af ligningen lig med nul. Husk at for at bruge andengradsformlen skal du sætte ligningen lig med nul, og derefter bruge koefficienterne i formlen. På samme måde starter denne metode til at finde en invers funktion med at sætte ligningen lig nul.

Til eksempelligningen skal du trække x fra begge sider af ligningen for at få venstre side lig med nul. Dette giver resultatet

0 = y 2 + 2 y - 3 - x

${displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}$ .

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 25

6. Omdefiner variablerne, så de passer til kvadratformlen. Dette trin er lidt tricky. Vid, at kvadratformlen løser for x i ligningen

0 = -en x 2 + b x + c

${displaystyle 0=ax^{2}+bx+c}$ . Så for den ligning du har nu,

0 = y 2 + 2 y - 3 - x

${displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}$ , for at overholde denne klassifikation skal du omdefinere termerne som følger:

Forlade

y 2 = -en x^{2}

${displaystyle y^{2}=ax^{2}}$ . Altså x=1

Forlade

2 y = b x

${displaystyle 2y=bx}$ . Så b=2

Forlade

(- 3 - x) = c

${displaystyle (-3-x)=c}$ . Så c=(-3-x)

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 26

7. Løs kvadratformlen med disse omdefinerede værdier. Normalt vil du behandle værdierne af a, b og c i kvadratformlen for at løse for x. Husk dog, at du tidligere byttede x og y for at finde den omvendte funktion. Så når du bruger kvadratformlen til at løse for x, løser du faktisk y eller f-inverse. Trinene til løsning af kvadratformlen fungerer som følger:

x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a

x=(-2)±√((-2)^2-4(1)(-3-x)) / 2(1)

x=((-2)±√(4+12+4x)))/2

x=(-2±√(16+4x))/2

x=(-2±√(4)(4+x)))/2

x=-2±2√(4+x))/2

x=-1±√(4+x)

f-invers = -1±√(4+x)(Dette sidste trin er muligt, fordi du byttede f(x) til variablen x på et tidligere tidspunkt).

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 27

8. Skriv de to mulige løsninger ned. Bemærk, at kvadratformlen giver to mulige udfald ved at bruge symbolet ±. Skriv de to separate løsninger ud for at gøre det nemmere at bestemme domæne og rækkevidde og give den rigtige endelige løsning. Disse to løsninger er:

f - 1 = - 1 + \sqrt{4 + x}

${displaystyle f^{-1}=-1+{sqrt {4+x}}}$

f - 1 = - 1 - \sqrt{4 + x}

${displaystyle f^{-1}=-1-{sqrt {4+x}}}$

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 28

9. Bestem domænet og området for den inverse funktion. Bemærk, at for at definere kvadratroden skal domænet være x≥-4. Husk, at domænet for den oprindelige funktion var x≤-1 og området var y≥-4. For at vælge den inverse funktion, der svarer, har du brug for den anden løsning,

f - 1 = - 1 - \sqrt{4 + x}

${displaystyle f^{-1}=-1-{sqrt {4+x}}}$ vælge som den korrekte inverse funktion.

Billede med titlen Find det omvendte af en kvadratisk funktion Trin 29

10. Tjek om din omvendte funktion er korrekt. For at sikre, at dit arbejde er korrekt, og din inverse er den rigtige ligning, skal du vælge en værdi for x og sætte den i den oprindelige ligning for at finde y. Sæt derefter værdien af y i stedet for x i din omvendte ligning, og se om du får det tal, du startede med. Hvis ja, så er din omvendte funktion korrekt.

Forudsat den oprindelige funktion

f (x) = x 2 + 2 x - 3

${displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}$ , vælg din x=-2. Dette returnerer y=-3. Erstat nu værdien af x=-3 i den inverse funktion,

f - 1 = - 1 - \sqrt{4 + x}

${displaystyle f^{-1}=-1-{sqrt {4+x}}}$ . Dette returnerer -2, hvilket faktisk er den værdi, du startede med. Så din definition af den inverse funktion er korrekt.