Tilføjelse af tallene fra 1 til n

1. Definer det største heltal som N. Når man lægger heltal fra 1 til et givet tal N, du skal definere N selv som et positivt heltal. N er et heltal og kan derfor ikke være en decimal eller brøk. N må heller ikke være negativ.

• Lad os som et eksempel sige, at vi vil tilføje alle heltal fra 1 til 100. I dette tilfælde er 100 værdien for N, fordi dette er det sidste tal i vores serie, eller med andre ord, det største tal i tilføjelsen.

2. Multiplicer N(N + 1) og divider med 2. Når du har defineret værdien af ​​N, skal du anvende denne værdi på ligningen (N(N + 1))/2. Denne ligning finder summen af ​​alle heltal mellem 1 og N.

3. Beregn svaret. Den endelige værdi af denne ligning er summen af ​​alle tal mellem 1 og N.

4. Forstå hvordan ligningen (N(N + 1))/2 er udledt. Tag et andet kig på eksempelproblemet. Opdel denne sekvens 1 + 2 + 3 + 4... + 99 + 100 i to grupper - fra 1 til 50 og en fra 51 til 100. Hvis du lægger det første tal i den første gruppe (1) til det sidste tal i den anden gruppe (100), får du 101. Du får det samme svar (101) ved 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97, og så videre. Hvis vi lægger hvert tal i den første gruppe til dets tilsvarende tal i den anden gruppe, ender vi med 50 par tal med samme sum: 101. Så 50 x 101 = 5050, summen for heltal fra 1 til 100. Bemærk, at 50 er halvdelen af ​​100, og at 101 er 100 + 1. Faktisk gælder denne observation for summen af ​​ethvert positivt heltal - summeringen af ​​komponenterne kan opdeles i to grupper, og tallene i disse grupper kan tildeles hinanden på en sådan måde, at hvert par har den samme sum. Bemærk, at en ulige sekvens af heltal efterlader ét tal -- dette påvirker ikke det endelige svar.

1. Beslut om du vil tilføje inkluderende eller eksklusivt. Ofte er målet ikke at summere et interval af heltal fra 1 til et givet tal, men du vil blive bedt om at finde summen af ​​en serie af heltal mellem to heltal N₁ og N₂, hvor N₁ > N₂ og begge dele > at være 1. Processen for at finde denne sum er forholdsvis enkel, men før vi går i gang, skal vi beslutte, om summen er inklusive eller eksklusiv – med andre ord om N₁ og N₂ omfatter eller kun hele numrene imellem, fordi fremgangsmåden er lidt anderledes i disse tilfælde.

2. For at bestemme summen af ​​heltal mellem to tal N₁ og N₂ vi bestemmer først summen af ​​hver værdi af N separat og trækker den fra. Generelt skal du blot trække summen af ​​den mindre N-værdi fra summen af ​​den større N-værdi for at finde svaret. Imidlertid, som nævnt ovenfor, er det vigtigt at vide, om denne tilføjelse er inkluderende eller eksklusiv. Inklusiv addition kræver, at du trækker 1 fra værdien af ​​N₂ før du sætter det ind i ligningen, mens eksklusiv opregning kræver, at du trækker 1 fra værdien for N₁.

3. Forstå hvorfor denne proces fungerer. Betragt summen af ​​heltal fra 1 til 100 som 1 + 2 + 3... + 98 + 99 + 100 og summen af ​​de heltal fra 1 til 75 som 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75. Den inklusive sum af de heltal fra 75 til 100 betyder 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Summen af ​​1-75 og 1-100 er den samme, indtil en med 75 --– på det tidspunkt stopper summen af ​​1-75 `stop` og summen af ​​1 - 100 fortsætter, med ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Derfor, ved at trække summen af ​​heltal fra 1-75 fra summen af ​​heltal fra 1-100 tillader vi os at adskille summen af ​​heltal fra 75-100.