Beregning af terningrødder i hånden (med billeder)

Indhold

Trin
Tips
Advarsler
Fornødenheder

Ved at bruge en lommeregner, beregne terningeroden af ethvert tal, er blot at trykke på et par taster. Men måske har du ikke en lommeregner, eller du vil imponere dine venner med din evne til at beregne en terningrod direkte. Der er en metode, der ser lidt hård ud ved første øjekast, men som virker meget let med lidt øvelse. Det er nyttigt at have noget paratviden inden for regnefærdigheder og beregning af kubiktal.

Trin

Del 1 af 3: Udarbejdelse af en prøveopgave

1. Forbered opgaven. At løse terningroden af et tal vil ligne at løse lang division, med nogle forskelle her og der. Det første skridt er at nedskrive problemet korrekt.

Skriv det tal ned, du vil finde terningroden af. Skriv tallene i grupper af tre, hvor kommaet er udgangspunktet. I dette eksempel skal du finde terningroden af 10. Skriv dette ned som 10.000.000. Nullerne er nødvendige for nøjagtigheden af svaret.
Tegn en radikal af terningen over tallet. Dette tjener samme formål som den lange divisionslinje. Den eneste forskel er symbolets form.
Sæt et komma over linjen, direkte over decimaltegnet i det oprindelige tal.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 2

2. Kend enhedernes terninger. Det skal du bruge i dine beregninger. Det drejer sig om følgende tredjebeføjelser:

13 = 1 * 1 * 1 = 1

$1^{3}=1*1*1=1$

23 = 2 * 2 * 2 = 8

$2^{3}=2*2*2=8$

33 = 3 * 3 * 3 = 27

$3^{3}=3*3*3=27$

43 = 4 * 4 * 4 = 64

$4^{3}=4*4*4=64$

53 = 5 * 5 * 5 = 125

$5^{3}=5*5*5=125$

63 = 6 * 6 * 6 = 216

$6^{3}=6*6*6=216$

73 = 7 * 7 * 7 = 343

$7^{3}=7*7*7=343$

83 = 8 * 8 * 8 = 512

$8^{3}=8*8*8=512$

93 = 9 * 9 * 9 = 729

$9^{3}=9*9*9=729$

103 = 10 * 10 * 10 = 1000

$10^{3}=10*10*10=1000$

Billede med titlen Beregn terningerod i hånden Trin 3

3. Find det første ciffer i dit svar. Vælg et tal, der i forhold til terningen giver det størst mulige udfald, der er mindre end det første sæt af tre tal.

I dette eksempel er det første sæt af tre tal multipliceret med 10. Bestem den største terning, der er mindre end 10. Det er 8, og dens terningerod er 2.

Skriv tallet 2 over det radikale tegn, over tallet 10. Skriv værdien af

23

$2^{3}$ , lig med 8, under tallet 10; tegne en streg og trække tallene fra på samme måde som ved lang division. Resultatet er 2.

Efter denne minussum har du det første ciffer i dit svar. Du bliver nødt til at kontrollere, om dette ene tal er nøjagtigt nok. I de fleste tilfælde vil dette ikke være tilfældet. Du kan tjekke dette ved at hæve tallet til terningen og se, om det er tæt nok på det ønskede resultat. I dette tilfælde

23

$2^{3}$ er lig med 8, og det er ikke rigtig tæt på 10, så du skal videre.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 4

4. Lav lineup for det næste ciffer. Skriv den næste gruppe på tre tal i resten, og tegn en kort lodret linje til venstre for det resulterende tal. Dette vil være det tal, vi bruger til at bestemme det næste ciffer i din terningerodsløsning. I dette eksempel vil dette være 2000, som er skabt ud fra de resterende 2 af den forrige minus sum, med gruppen af tre nuller, du tog ned.

Til venstre for den lodrette linje skal du skrive løsningen af den næste divisor ned som summen af tre separate tal. Angiv de tomme mellemrum for disse tal ved at understrege tre tomme felter med plustegn under dem.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 5

5. Find starten på den næste divisor. For den første del af divisor, skriv tre hundrede gange kvadratet af det, der er over radikalet. I dette tilfælde er det 2; 2^2 er 4, og 4*300=1200. Så skriv 1200 i det første tomme felt. Divisoren for dette trin af løsningen vil være 1200, plus noget andet, du vil beregne om et minut.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 6

6. Find det næste tal i din terningrod. Find det næste ciffer i din løsning ved at vælge, hvad du kan gange med divisoren (1200-og-noget), og træk derefter fra resten af 2000. Dette kan kun være 1, fordi 2 gange 1200 er lig med 2400, hvilket er større end 2000. Skriv tallet 1 i det næste mellemrum over radikalet.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 7

7. Find resten af divisoren. Divisoren i dette trin af løsningen består af tre dele. Den første del er de 1200 du allerede har. Du skal nu tilføje to ekstra termer for at fuldføre divisoren.

Beregn nu 3 gange 10 gange hver af de to tal, der findes i din løsning over radikalet. For dette simple problem betyder det 3*10*2*1, hvilket er lig med 60. Tilføj dette til de 1200, du allerede havde, og du får 1260.

Tilføj til sidst kvadratet af det sidste ciffer. I dette eksempel er det 1; og 1^2 er stadig 1. Så den samlede divisor er 1200+60+1 eller 1261. Bemærk dette til venstre for den lodrette linje.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 8

8. Multiplicer og subtraher. Afrund denne del af løsningen ved at gange det sidste ciffer i din løsning - i dette tilfælde tallet 1 - gange den divisor, du lige har beregnet (1261). 1*1261 =1261. Skriv dette nedenfor 2000 og træk 1261 fra det for at få 739.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 9

9. Beslut dig for at gå videre for at få et mere præcist svar. Efter at have gennemført minussummen af hvert trin, skal du kontrollere, om dit svar er præcist nok. For terningroden af 10: efter den første minussum var terningsroden kun 2, og det er ikke rigtig nøjagtigt. Nu, efter anden runde, er løsningen 2,1.

Du kan kontrollere nøjagtigheden af dette resultat ved hjælp af terningen: 2.1*2.1*2.1. Resultatet er 9.261.

Hvis du synes, resultatet er nøjagtigt nok, kan du stoppe. Vil du have et mere præcist svar, skal du igennem endnu en omgang.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 10

10. Bestem dealeren til næste runde. I dette tilfælde, for mere øvelse og et mere præcist svar, gentag trinene for en anden runde, som følger:

Tag den næste gruppe på tre tal ned. I dette tilfælde er disse tre nuller, som kommer efter de resterende 739 og dermed 739.000 figurer.

Start divisoren ved 300 gange kvadratet af tallet i øjeblikket over radikalen. Dette er

300 * 21 2

$300*21^{2}$ , og derfor 132.300.

Vælg det næste ciffer i din løsning, så du kan gange det med 132.300 og mindre fra 739.000 af din resterende del. Et godt valg ville være 5, fordi 5*132.300=661.500. Skriv tallet 5 i det næste mellemrum over den radikale linje.

Find 3 gange det forrige tal over den radikale linje, 21, gange det sidste ciffer, du lige har skrevet ned, 5, gange 10. Dette giver

3 * 21 * 5 * 10 = 3150

$3*21*5*10=3150$ .

Til sidst skal du firkante det sidste ciffer. Dette er

52 = 25.

$5^{2}=25$

Læg din divisors vilkår sammen, og du får 132.300+3150+25=135.475.

Billede med titlen Beregn terningerod i hånden Trin 11

11. Gang divisor med resultatet. Efter at have beregnet divisoren i denne næste runde og udvidet din løsning med et ciffer mere, fortsæt som følger:

Gang divisor med det sidste ciffer i din løsning. 135.475*5=677.375.

trække fra. 739.000-677.375=61.625.

Overvej om løsningen 2.15 er præcis nok. Beregn dens terning, og du får

2, 15 * 2, 15 * 2, 15 = 9, 94

$2,15*2,15*2,15=9,94$ .

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 12

12. Skriv dit endelige svar ned. Resultatet over radikalen er terningroden med en nøjagtighed på tre signifikante cifre. I dette eksempel er terningroden af 10 lig med 2,15. Tjek dette ved at beregne 2,15^3=9,94, som kan rundes op til 10. Hvis du har brug for et mere præcist svar, så fortsæt indtil du er tilfreds.

Del 2 af 3: Find terningroden gennem gentagen estimering

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 13

1. Brug kubiktal til at angive de øvre og nedre grænser. Når du bliver bedt om en terningrod af et bestemt tal, start med at vælge en terning, der er så tæt på det som muligt, uden at være større end dit måltal.

For eksempel, hvis du vil finde terningroden af 600, skal du huske (eller bruge en tabel med terninger), at $83 = 512$ $8^{3}=512$ og $93 = 729$ $9^{3}=729$ . Derfor vil løsningen på terningeroden på 600 være noget mellem 8 og 9. Brug tallene 512 og 729 som øvre og nedre grænser for din løsning.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 14

2. Gæt det næste nummer. Du kendte det første ciffer på grund af din viden om visse kubiktal. For det næste ciffer skal du estimere et tal mellem 0 og 9 baseret på, hvor dit måltal falder mellem de to grænsetal.

I eksempelopgaven falder 600 (dit målnummer) cirka halvvejs mellem grænsetallene 512 og 729. Så vælg dine 5 som dit næste tal.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 15

3. Test dit gæt ved at bestemme dens terning. Prøv at gange det skøn, du arbejder med nu, for at se, hvor tæt du er på måltallet.

I dette eksempel multiplicerer du

8, 5 * 8, 5 * 8, 5 = 614, 1.

$8,5*8,5*8,5=614,1$

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 16

4. Juster dit skøn, hvor det er nødvendigt. Efter at have hævet til terningen af dit sidste gæt, skal du kontrollere resultatet i forhold til dit måltal. Hvis resultatet er større end målet, bør dit estimat være mindre. Hvis resultatet er mindre end målet, skal du justere det opad, indtil du når målet.

I dette problem f.eks

8, 5 3

$8,5^{3}$ større end målet (600). Så du reducerer estimatet til 8,4. Tag terningen af dette tal og sammenlign det med dit mål. det vil du se

8, 4 * 8, 4 * 8, 4 = 592, 7

$8,4*8,4*8,4=592,7$ . Dette er nu lavere end dit mål. Dette fortæller dig, at terningroden på 600 skal være mindst 8,4, men mindre end 8,5.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 17

5. Anslå det næste tal for et mere præcist svar. Fortsæt denne procedure med at estimere tal fra 0 til 9, indtil dit svar er så nøjagtigt, som du ønsker det skal være. For hver estimeringsrunde skal du starte med at kontrollere placeringen af din sidste beregning mellem grænsetallene.

I dette eksempelopgave viser din sidste runde af beregninger det

8, 4 3 = 592, 7

$8,4^{3}=592,7$ , mens

8, 5 3 = 614, 1

$8,5^{3}=614,1$ . Målet (600) er lidt tættere på 592 end på 614. Så estimerer du det næste tal lidt mindre end halvvejs mellem 0 og 9. Et godt valg er 4, hvilket vil give dig et estimat af terningroden på 8,44.

Billede med titlen Beregn terningerod i hånden Trin 18

6. Fortsæt med at estimere og justere Gør dette så mange gange som nødvendigt, hæv dit estimat til terningen og se, hvordan det er sammenlignet med måltallet. Se efter tal, der er lige under eller lige over måltallet.

For dette eksempelproblem skal du starte med at bemærke det

8, 44 * 8, 44 * 8, 44 = 601, 2

$8,44*8,44*8,44=601,2$ . Dette er lige over målet, så drop nogle og test 8.43. Dette giver

8, 43 * 8, 43 * 8, 43 = 599, 07

$8,43*8,43*8,43=599,07$ som resultat. Så du ved, at terningeroden af 600 er lidt mere end 8,43 og lidt mindre end 8,44.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 19

7. Fortsæt, indtil du når den ønskede nøjagtighed. Fortsæt med at estimere, sammenligne og re-estimere, så længe det er nødvendigt, indtil din løsning er så præcis, som du ønsker, at den skal være. Bemærk, at med hver decimal kommer dine måltal tættere og tættere på det faktiske tal.

For eksemplet med terningroden af 600, hvis man antager to decimaltal, er 8,43 mindre end 1 fra måltallet. Hvis du fortsætter til tre cifre efter decimaltegnet, vil du se det

8, 434 3 = 599, 93

$8.434^{3}=599.93$ hvis resultatet er 0,1 mindre end det faktiske svar.

Del 3 af 3: Forstå, hvordan denne beregning fungerer

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 20

1. Gå over Newtons binomiale igen. For at forstå, hvorfor denne algoritme virker til at bestemme terningrødder, skal du først tænke tilbage på, hvordan terningen ser ud som binomial. Du har sikkert lært dette i gymnasiets matematik (og som de fleste har du sikkert glemt det ret hurtigt). Vælg to variable

-en

$-en$ og

B

$B$ for at repræsentere enheder. Så udregner du binomialet af

(10 -en + B)

$(10A+B)$ for tiere.

Brug udtrykket $10 -en$ $10A$ at skabe et dusin. Uanset hvilken klasse du vælger $-en$ $-en$ , $10 -en$ $10A$ vil danne et dusin. For eksempel hvis $-en$ $-en$ er 2 og $B$ $B$ er 6, så bliver $(10 -en + B)$ $(10A+B)$ lig med 26.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 21

2. Skriv binomialet i en terning. Vi arbejder nu baglæns, ved først at bestemme terningen og derefter se, hvorfor terningrødder-løsningen virker. Vi har brug for værdierne af

(10 -en + B) 3

$(10A+B)^{3}$ finde. Det gør du ved at træne

(10 -en + B) * (10 -en + B) * (10 -en + B)

$(10A+B)*(10A+B)*(10A+B)$ . Dette er en for lang beregning til at vise her, men slutresultatet er

1000 -en 3 + 300 {-en}^{2} B + 30 -en B^{2} + B^{3}

$1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}$ .

For at lære mere om Newtons binomiale og få dette resultat, læs mere om multiplicering af binomialer på wikiHow. Hvis du ønsker en mere dybdegående, hurtig version, så læs mere om Pascals Trekant.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 22

3. Kend betydningen af lang division. Bemærk, at metoden til at beregne terningroden fungerer ligesom lang division. I lang division ser du at to faktorer ganget sammen, giv det tal du startede med. I denne beregning er det tal, du leder efter (det tal, der ender over radikalet) terningroden. Det betyder, at det er lig med udtrykket (10A+B). De faktiske A og B er irrelevante nu, så længe du forstår sammenhængen med svaret.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 23

4. Se den udvidede version. Når du ser på Newtons binomiale, ser du, hvorfor terningrodsalgoritmen er korrekt. Se, hvordan divisor ved hvert trin i algoritmen er lig med summen af de fire led, du skal beregne og lægge sammen. Disse vilkår opstår som følger:

Det første led indeholder en flertal af 1000. Du vælger først et tal, der kan hæves til terningen og stadig holde sig inden for rækkevidden af lang division som det første ciffer. Dette giver udtrykket 1000A^3 i binomialet.

Det andet led i Newtons binomiale har en koefficient på 300. (Dette er fra

3 * 10 2

$3*10^{2}$ .) Husk, at ved beregning af terningroden blev det første ciffer i hvert trin ganget med 0300.

Det andet ciffer i hvert trin i terningrodsberegningen kommer fra det tredje led i Newtons binomiale. I Newtons binomiale ser du udtrykket 30AB^2.

Det sidste ciffer i hvert trin er udtrykket B^3.

Billede med titlen Beregn terningrod i hånden Trin 24

5. Se nøjagtighed vokse. Når du træner lang division, giver hvert trin du fuldfører stor nøjagtighed til dit svar. For eksempel er eksempelproblemet, der er uddybet i denne artikel, til bestemmelse af terningeroden af 10. I første trin er løsningen 2, fordi

23

$2^{3}$ kommer tæt på, men er mindre end 10. Faktisk,

23 = 8

$2^{3}=8$ . Efter anden runde er din løsning 2.1. Når du har fundet ud af dette, får du

2, 1 3 = 9, 261

$2,1^{3}=9,261$ , og det er meget tættere på det ønskede resultat (10). Efter tredje runde har du 2,15, og det giver dig

2, 15 3 = 9, 94

$2,15^{3}=9,94$ . Fortsæt med at arbejde i grupper med tre tal, og du vil få et så præcist svar, som du ønsker.

Tips

Som noget andet vil dine matematiske færdigheder forbedres med øvelse. Jo mere du øver dig, jo bedre vil du være i stand til at lave den slags beregninger.