Transponer en matrix: 11 trin (med billeder)

Indhold

Trin
Tips

En matrixtransposition er et nyttigt matematisk værktøj til at forstå strukturen af matricer. Funktioner, du måske allerede kender fra matricer, såsom at være kvadratisk og symmetri, påvirker transponeringsresultaterne på en indlysende måde. Transposition tjener også til at udtrykke vektorer som matricer eller beregne produkter af vektorer. Når du beskæftiger dig med komplekse matricer, vil det nært beslægtede koncept for en konjugeret transposition hjælpe dig med mange problemer.

Trin

Del 1 af 3: Transponering af en matrix

1. Start med en hvilken som helst matrix. Du kan transponere enhver matrix uanset antallet af rækker og kolonner. Firkantede matricer med lige mange rækker og kolonner transponeres mest, så vi bruger en simpel kvadratisk matrix som eksempel:

matrix -en =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Billede med titlen Transpose a Matrix Trin 2

2. Gør den første række af matricen til den første kolonne i transpositionen. Omskriv række 1 i matrixen som en kolonne:

Transposition af matrix A = A

Første kolonne af A:
1
2
3

Billede med titlen Transponer en matrix Trin 3

3. Gentag for de resterende rækker. Den anden række i den oprindelige matrix bliver den anden kolonne i transponeringen. Gentag dette mønster, indtil du har forvandlet hver række til en kolonne:

-en =
1 4 7
2 5 8
3 6 9

Billede med titlen Transponer en matrix Trin 4

4. Øv på en ikke-firkantet matrix. Transpositionen er nøjagtig den samme for en ikke-kvadratisk matrix. Du omskriver den første række som den første kolonne, den anden række som den anden kolonne, og så videre. Her er et farvekodet eksempel for at vise dig, hvor elementerne ender:

matrix z =
4 7 2 1
3 9 8 6

matrix z =
4 3
7 9
2 8
1 6

Billede med titlen Transponer en matrix Trin 5

5. Udtryk omsætningen matematisk. Konceptet er ret simpelt, men det er godt at kunne beskrive det i matematiske termer. Ingen jargon er nødvendig uden for grundlæggende matrixnotation:

Hvis matrix B er a m x n matrix (m rækker og n kolonner), så er den transponerede matrix B a n x m matrix (n rækker og m kolonner).

For hvert element b_xy (x-det, y-kolonnen) i B har matrix B et lige element på b_yx (y-rækken, x-kolonnen).

Del 2 af 3: Særlige tilfælde

Billede med titlen Transponer en matrix Trin 6

1. (M = M. Transpositionen af en transposition er den oprindelige matrix. Dette giver meget mening, da du bare bytter rækker og kolonner. Hvis du skifter dem igen, kommer du tilbage til begyndelsen.

Billede med titlen Transponer en matrix Trin 7

2. Vip firkantede matricer over hoveddiagonalen. I en kvadratisk matrix vil en transposition "vippe" matrixen langs hoveddiagonalen. Med andre ord, elementerne i en diagonal linje af element a₁₁ i nederste højre hjørne forbliver den samme. De andre elementer vil bevæge sig hen over diagonalen og ende i samme afstand fra diagonalen på den modsatte side.

Hvis du ikke kan visualisere dette, så tegn en 4x4 matrix på et stykke papir. Fold nu hoveddiagonalen over. Kan du se, hvordan elementer a₁₄ og en₄₁ røre ved hinanden? De bytter plads i transpositionen, ligesom ethvert andet par, der rører hinanden, når de er foldet.

Billede med titlen Transponer en matrix Trin 8

3. Transponer en symmetrisk matrix. En symmetrisk matrix er symmetrisk omkring hoveddiagonalen. Hvis vi bruger `tilt` eller `fold` som beskrevet ovenfor, kan vi med det samme se, at intet ændrer sig. Alle elementpar, der bytter plads, var allerede identiske. Faktisk er dette standardmetoden til at definere en symmetrisk matrix. Hvis matrix A = A, så er matrix A symmetrisk.

Del 3 af 3: Konjugeret transposition af en kompleks matrix

Billede med titlen Transpose a Matrix Trin 9

1. Start med en kompleks matrix. Komplekse matricer har elementer med en reel og imaginær komponent. Mens du kan tage en regelmæssig transponering af disse matricer, er de fleste praktiske beregninger konjugerede transpositioner i stedet.

Matrix C =
2+jeg 3-2jeg
0+jeg 5+0jeg

Billede med titlen Transpose a Matrix Trin 10

2. Tag den komplekse konjugation. Den komplekse konjugation ændrer tegnet for de imaginære komponenter uden at ændre de virkelige komponenter. Udfør denne handling for alle elementer i matrixen.

Kompleks konjugation af C =
2-jeg 3+2jeg
0-jeg 5-0jeg

Billede med titlen Transpose a Matrix Trin 11

3. Transponer resultaterne. Tag en almindelig konvertering af resultatet. Den matrix, du ender med, er den konjugerede transposition af den oprindelige matrix.

Konjugeret transposition af C = C =
2-jeg 0-jeg
3+2jeg 5-0jeg

Tips

Denne artikel bruger notationen A til at angive konverteringen af matrix A. Notationen A` eller Ã betyder det samme.
Denne artikel henviser til den konjugerede konvertering af matrix A som A, den mest almindelige notation i lineær algebra. Kvantefysikere bruger ofte A i stedet for. A* er en anden mulighed, men prøv at undgå dette, da nogle kilder vil bruge dette symbol til at indikere en kompleks konjugation.