Beregning af en linjes hældning og skæringspunkter

Indhold

Trin

Hældningen af en linje måler, hvor stejl linjen er.Du kan også sige, at det er afstanden på y-aksen sammenlignet med afstanden på x-aksen -- det vil sige, hvor meget linjen stiger lodret i forhold til, hvor meget den stiger vandret. At kunne finde hældningen på en linje, eller bruge hældningen til at finde punkter på linjen, er en vigtig færdighed, der bruges inden for matematik, økonomi, naturvidenskab, regnskab/finans og andre områder.

Trin

Metode 1 af 4: Brug af en graf til at finde hældningen

1. Vælg to punkter på linjen. Tegn prikker på grafen for at repræsentere disse punkter, og noter deres koordinater.

Når du tegner punkter, så glem ikke at nævne x-koordinaten først og derefter y-koordinaten.
For eksempel: du kan vælge punkterne (-3, -2) og (5, 4).

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 2

2. Find stigningen mellem de to punkter. For at gøre dette skal du sammenligne forskellen i y af de to punkter. Start med det første punkt, punktet længst til venstre på grafen, og tæl indtil du kommer til y-koordinaten for det andet punkt.

Stigningen kan være positiv eller negativ; det vil sige, at du skal tælle op eller måske ned for at finde den. Hvis linjen bevæger sig op og til højre, er stigningen positiv. Hvis linjen bevæger sig ned og til højre, er stigningen negativ.

For eksempel, hvis y-koordinaten for det første punkt er (-2), og y-koordinaten for det andet punkt er (4), tilføjer du seks punkter, og stigningen er 6.

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 3

3. Bestem den vandrette afstand mellem de to punkter. For at gøre dette skal du sammenligne forskellen i x-værdier af de to punkter. Start med det første punkt, punktet længst til venstre for grafen, og tæl indtil du kommer til x-koordinaten for det andet punkt.

Den vandrette afstand er altid positiv; det vil sige, du kan kun tælle fra venstre mod højre, aldrig fra højre mod venstre.

For eksempel, hvis x-koordinaten for det første punkt er (-3), og x-koordinaten for det andet punkt er (5), så ville du tælle en afstand på 8.

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 4

4. Lav et forhold y/x for at finde hældningen. Hældningen er normalt en brøkdel, men kan også være et helt tal.

For eksempel, hvis stigningen er 6 og faldet er 8, så er din hældning det

\frac{6}{8}

${displaystyle {frac {6}{8}}}$ , som kan forenkles til

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ .

Metode 2 af 4: Brug to givne punkter til at finde hældningen

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 5

1. Skriv følgende formel:

m = y 2 - y_{1} x 2 - x_{1}

${displaystyle m={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$ . I denne formel er `m` hældningen,

(x 1, y_{1})

$(x_{{1}},y_{{1}})$ er koordinaterne for det første punkt,

(x 2, y_{2})

$(x_{{2}},y_{{2}})$ er koordinaterne for det andet punkt.

Husk at hældningen er lig med $\frac{y}{x}$ ${frac{y}{x}}$ . Du bruger denne formel til at finde ændringen i y (stigning) over ændringen i x (afstand).

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 6

2. Indsæt x- og y-koordinaterne i formlen. Sørg for at have koordinaterne for det første punkt (

(x 1, y_{1})

$(x_{{1}},y_{{1}})$ ) og det andet punkt (

(x 2, y_{2})

$(x_{{2}},y_{{2}})$ ) på de rigtige steder i formlen, ellers vil du ikke beregne den korrekte hældning.

For eksempel, givet punkterne (-3, -2) og (5, 4), vil din formel se sådan ud:

m = 4 - (- 2) 5 - (- 3)

${displaystyle m={frac {4-(-2)}{5-(-3)}}}$ .

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 7

3. Gennemfør beregningen og forenkle, hvis det er muligt. Dette vil give dig hældningen som en brøk eller et heltal.

For eksempel: med en hældning

m = 4 - (- 2) 5 - (- 3)

${displaystyle m={frac {4-(-2)}{5-(-3)}}}$ regner du

4 - (- 2) = 6

${displaystyle 4-(-2)=6}$ i tælleren ((husk at lægge sammen, når et negativt tal trækkes fra) og

5 - (- 3) = 8

${displaystyle 5-(-3)=8}$ i nævneren. Du forenklede

\frac{6}{8}

${displaystyle {frac {6}{8}}}$ derefter til

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , og dermed

m = \frac{3}{4}

${displaystyle m={frac {3}{4}}}$ .

Metode 3 af 4: Bestemmelse af skæringspunktet med y-aksen givet hældningen og et punkt

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 8

1. Indstil formlen y=mx+b{displaystyle y=mx+b} ${displaystyle y=mx+b}$ på. I formlen er y y-koordinaten for ethvert punkt på den rette linje, m er hældningen, x er x-koordinaten for ethvert punkt på linjen, og b er skæringspunktet med y-aksen.

$y = m x + b$ $y=mx+b$ er ligningen for en ret linje.
Skæringspunktet med y-aksen er det punkt, hvor linjen krydser y-aksen.

EKSPERDTIP

Grace Imson, MA

Matematiklærer ved City College i San Francisco Grace Imson er en matematiklærer med over 40 års erfaring. Hun underviser i øjeblikket i matematik på City College i San Francisco og har tidligere arbejdet på det matematiske fakultet ved Saint Louis University. Grace har undervist i matematik i folkeskolen, gymnasiet og college. Hun har en kandidatgrad i uddannelsesvidenskab med speciale i skoleledelse og supervision fra Saint Louis University.

Grace Imson, MA
Matematiklærer ved City College i San Francisco

Vores ekspert forklarer:` Hvis du har hældningen og et punkt, indregner du det i linjens ligning. I y = mx + b er m hældningen, og koordinaterne for punktet vil indeholde både x og y. Løs derefter for b for at finde skæringspunktet med y-aksen.

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 9

2. Bearbejd hældningen og koordinaterne for et punkt på linjen. Husk at hældningen er lig med stigningen over den vandrette afstand. Hvis du har brug for hjælp til at finde hældningen, så se vejledningen ovenfor.

For eksempel: hvis hældningen er lig med

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , og et punkt på linjen er (5.4), så ser formlen sådan ud:

4 = \frac{3}{4} (5) + b

${displaystyle 4={frac {3}{4}}(5)+b}$ .

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 10

3. Løs ligningen for b. Gang først hældningen og x-koordinaten. Træk dette tal fra begge sider for at løse for b.

I eksempelopgaven bliver ligningen

4 = 3 \frac{3}{4} + b

${displaystyle 4=3{frac {3}{4}}+b}$ . hvis du

3 \frac{3}{4}

${displaystyle 3{frac {3}{4}}}$ trækker fra begge sider, ender du med

\frac{1}{4} = b

${displaystyle {frac {1}{4}}=b}$ . Så skæringspunktet med y-aksen er lig med

\frac{1}{4}

${frac{1}{4}}$ .

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 11

4. Tjek dit arbejde. Plot det kendte punkt på en graf og tegn derefter en linje ved hjælp af hældningen (hældningen). For at finde skæringspunktet med y-aksen skal du finde det punkt, hvor linjen skærer y-aksen.

For eksempel: hvis hældningen

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ er, og et punkt er (5.4), tegn derefter et punkt op (5.4), og tegn derefter andre punkter langs linjen ved at gå fire til venstre og tre ned. Hvis du trækker en linje gennem punkterne, skal linjen skære y-aksen lige over (0,0) koordinaten.

Metode 4 af 4: Bestemmelse af skæringspunktet med x-aksen givet hældningen og skæringspunktet med y-aksen

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 12

$y = m x + b$ $y=mx+b$ er ligningen for en ret linje.
Skæringspunktet med x-aksen er det punkt, hvor linjen krydser x-aksen.

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 13

2. Anvend hældningen og skæringspunktet med y-aksen på formlen. Husk at hældningen er lig med stigningen over den vandrette afstand. Hvis du har brug for hjælp til at finde hældningen, så se vejledningen ovenfor.

For eksempel: hældningen er

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , og skæringspunktet med y-aksen er

\frac{1}{4}

${frac{1}{4}}$ , så formlen ser sådan ud:

y = \frac{3}{4} x + \frac{1}{4}

${displaystyle y={frac {3}{4}}x+{frac {1}{4}}}$ .

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 14

3. Indstil y til 0.Du leder efter skæringspunktet med x-aksen, det punkt, hvor linjen krydser x-aksen. På dette tidspunkt vil y-koordinaten være nul. Så hvis vi sætter y til 0 og løser den tilsvarende x-koordinat, finder vi punktet (x, 0), som er skæringspunktet med x-aksen.

I eksempelopgaven bliver ligningen

0 = \frac{3}{4} x + \frac{1}{4}

${displaystyle 0={frac {3}{4}}x+{frac {1}{4}}}$ .

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 15

4. Fuldfør ligningen ved at løse x. Træk først skæringspunktet med y-aksen fra begge sider. Del derefter begge sider med skråningen.

I eksempelopgaven bliver ligningen

- 1 4 = \frac{3}{4} x

${displaystyle {frac {-1}{4}}={frac {3}{4}}x}$ . Del begge sider

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , og du får

- 4 12 = x

${displaystyle {frac {-4}{12}}=x}$ . Dette er forenklet til

- 1 3 = x

${displaystyle {frac {-1}{3}}=x}$ . Så skæringspunktet med x-aksen er

(- 1 3, 0)

${displaystyle ({frac {-1}{3}},0)}$ . Dermed

- 1 3

${displaystyle {frac {-1}{3}}}$ .

Billede med titlen Beregn hældning og skæringer af en linje Trin 16

5. Tjek dit arbejde. Tegn en graf over skæringspunktet med y-aksen, og tegn derefter en linje med hældningen. For at finde skæringspunktet med x-aksen skal du finde det punkt, hvor linjen skærer x-aksen.

For eksempel: hvis hældningen

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ er , og skæringspunktet med y-aksen

(0, \frac{1}{4})

${displaystyle (0,{frac {1}{4}})}$ , så tegn pointen

(0, \frac{1}{4})

${displaystyle (0,{frac {1}{4}})}$ , og tegn derefter andre punkter langs linjen ved at tælle 4 til venstre og 3 ned, og 3 til højre og 4 op. Hvis du trækker en linje gennem punkterne, vil du se, at linjen krydser x-aksen lige til venstre for (0,0) koordinaten.